高考排列组合考点解析与试题集粹

1、1高考排列组合考点解析高考排列组合考点解析要求要求: : 掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用; 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其 简单应用； 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。 下面介绍其考点及其求解思路和方法。 考点考点 1 1 考查两个原理直接应用考查两个原理直接应用 例 1（03 年天津）某城市的中心广场建造一个花圃，分为 6 个部分（如图） 。现要种 植 4 种不同色的花，每部分种一种且相邻部分不能种同样色的花，不同的种植方法有 解析：求解排列组合问题材时，一是观察取出的元素是否有顺序，从面确定是排列问 题还是组合问题材；二是仔细审题，弄清怎样去完成这一件事，从而确定是分类计数还 是分步计数原理。 解：按区域种植，选择相邻区域较多的先种，可分六步完成： 第一步从 4 种花中任先 1 种给 1 号区域种花，有 4 种方法； 第二步从余下的 3 种花中任先一种给 2 号区域种，有 3 种方法； 第三步从余下的 2 种花中任先 1 种种给 3 号区域种有 2 种方法； 第四步给 4 号区域种花，由于 4 号

2、区域与 2 号区域不相邻，故这两个区域可分为同色 与不同色两类： 若 4 号区域 2 号区域种同色花，则 4 号区域有 1 种种法，第五步给 5 号区域有 2 种种 法；第六步给 6 号区域有 1 种种法； 若 4 号区域与 2 号区域种不同色花，则 4 号区域有 1 种种法，面 5 号区域的种法又可 分为两类：若 5 号区域与 2 号区域种同色花，则 5 号区域有 1 种种法，6 号区域有 2 种种 法；若 5 号区域与 2 号区域种不同色花，则 5 号区域有 1 种种法，6 号区域有 1 种种法。 由分步计数原理得不同的种植方法共有=120（种）11211121234考点考点 2 2 考查特殊元素优先考虑问题考查特殊元素优先考虑问题 例 2 （04 天津）从 1，2，3，5，7，中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被 5 整除的四位数共有 个。用数 字作答） 解析：对于含有特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排特殊位置上的特殊元素， 再安排其他位置上的其他元素。 解：合条件四位数的个位必须是 0、5，但 0 不能排在首位

3、，故 0 是其中的特殊元素， 应优先安排，按照 0 排在首位，0 排在十位、百位和不含 0 为标准分为三类：0 排在个位能被 0 整除的四位数有个1443 32 41 41 1ACCA0 排在十位、百位，但 5 必须排在个位有 =48 个2 21 31 41 11 2ACCAA不含 0，但 5 必须排在个位有个1083 32 41 31 1ACCA由分类计数原理得所求四位数共有 300 个。 考点考点 3 3 考查相邻排列计算问题考查相邻排列计算问题 例 2（海春）有件不同的产品排成一排，若其中 A、B 两件不同的产品排在 Nnn 一起的排法有 48 种，则 n 解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大2元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理 相邻排列问题的“捆绑”方法。解： 将 A、B 两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有种排法；对于上述1 1 n nA的每种排法，A、B 两件产品之间又有种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排2 2A法有 =48 种，故2 21 1AAnn 5n考点考点 4 4 考查互不相

4、邻排列计算问题考查互不相邻排列计算问题例 4 （04 辽）有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 个就座，规 定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 解析：对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题，可先将其它元素排成一排，然后 将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最 为奏效的插空法。 解：先将前排中间的 5 号、6 号、7 号座位和待安排 2 人的取出，再将剩下的 18 座位 排成一列，然后妆待安排 2 人的座位插入这 18 座位之间及两端的空隙中，使这 2 人的座位互不相邻，有种方法；2 19A但在前排的 4 号与 8 号座位、前排的 11 号与后排的 1 号座位之间可以同时插入待安排2 人的座位满足条件，有种方法。2 22A 由分类计数原理得到不同排法的种数有（种） ，选（B） 。346434222 22 19AA考点考点 5 5 考查排列组合混合计算问题考查排列组合混合计算问题 例 5 （04 陕）将 4 名教师分

5、配到 3 种中学任教，每所中学到少 1 名教师，则不同的分 配方案共有（ ）种 （A）12 （B） 24 （C）36 （D）48 解析：对于排列组合混合问题，可运用先分组（堆）后排列的策略求解，无次序分组 问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型。计数时常有下面结论： 对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再 除以均匀组数的全排列数。解：可分两步完成：第一步将 4 名教师部分均匀分为三组（1、1、2）有种2 21 11 22 4 ACCC方法；第二步将这三组教师分配到 3 所中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的3 3A分配方案共有=36 种。应选（B） 。3 32 4AC考点考点 6 6 考查定序排列计算问题考查定序排列计算问题 例 6 （96 全国）由数字 0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位 数字小于十位数字的共有（ ）个 （A） 210 （）300 （C）464 （D）600 解析：对于部分元素定序排列问题，可先把定序元素与其它元素一同进行全排列，然 后根据定序排列在整体排列中出现的概率，即用定序排列数

6、去均分总排列数获解。解：若不考虑附加条件，组成的六位数有个。在这些六位数中，只有个位数字5 51 5AA小于和个位数字大于十位数字这两种情况，而这两种情况在整体排列中出现的概率均为，故所求六位数为=300 个，应选215 51 521AA（B） 。3考点考点 7 7 考查等价转化计算问题考查等价转化计算问题 例 7 （04 湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形 的个数为（ ）个 （）56 （B）52 （C）48 （D）40 解析：几何图形问题是高考的常考点。求解时，一要熟悉几何图形性质及点、线、面 位置关系；二要按同一标准分类，避免重复、遗漏；三若直接求解困难或头绪繁多时， 可从其反而去考虑，将其转化为简单的问题去解决。解：从正方体的 8 个顶点中任取 3 个顶点可构成个三角形，其中非直角三角形的有3 8C两类：上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成 1 个正三角形， 上底面的 4 个顶点共 4 个非直角三角形；下底面的 4 个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的结角线共构成 4 个非直角三角形。故所求直角三角形共有个，48443 8C选（

7、C） 。 例 8 （97 全国）四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不 同的取法共有（ ）种 （A） 150 （）147 （C）144 （D）141解：从 10 个点中任取 4 个噗有=210 种取法，应剔除下面三类共面点：4 10C（1）从四面体的每个面上的 6 个点中任取 4 个点必共面有=60 种取法；4 64C（2）四面体的每条棱上 3 个点与对棱中点共面有 6 种取法； （3）6 个中点连线有 3 对平行线段共面，故从这 6 个点中取 4 个共面中取 4 个共面点 有 3 种取法。 故符合条件取法共 210-60-6-3=141 种。选（D）. 考点考点 8 8 考查二项展开式指定项求法考查二项展开式指定项求法例 9 (04 湖北) 已知的展开式中各项系数的和是 128,则展开式n xx 31 23中的系数是 .5x 解析:求二项展开式的指定项或其系数,常运用其通项公式,将其转化为方程问题去求解.解:取得1x71282nn令 得 .6116373172371r rrrr rxCxxCT 561163 xxr 3r故展开式中的系数为.5x355 7

8、C考点考点 9 9 考查二项展开式系数和求法考查二项展开式系数和求法例 10(04 天津)若 ,则200421x)(2004 20042 210Rxxaxaxaa. 20040302010aaaaaaaa解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又可视为方 程式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。 解：取得 ；1, 0xx10a12004210aaaa故原式=2004)(20032004100aaaa考点考点 1010 考查三项展开式指定项求法考查三项展开式指定项求法4例 11 （92 全）在的展开式中 x 的系数为（ ）5323 xx（A）160 （B）240 （C）360 D800 解析：求三顶展开式指定顶时，常通过恒等变形，将其转化为熟悉的两项式，然后分 两步运用二项式定理展开求解。解：=52522323xxxx 55 5421 5520 52323xCxxCxC展开式中 x 项的系数只能是在中，再次展开可得 x 项为55 5)23(xC55 5)23(xC故 x 项的系数为 240，应选 B。xxC2402 .3 .44 5此题亦可将其恒等变形为 ，

9、再把它们分别展开，运用多顶式乘法集55)2()1 (xx 项法求解。 考点考点 1111 考查二项式定理与近似估值问题考查二项式定理与近似估值问题 例 12 （04 湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民 人均收入为 3150 元（其中工资源共享性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元） ，预计该 地区自 04 年起的 5 年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收 入每年增加 160 元。根据以上数据，08 年该地区人均收入介于（ ） （A）4200 元4400 元 （B）4400 元4460 元 （C）4460 元4800 元 （D）4800 元5000 元 解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开， 经简略计算去解决估值问题。解：08 年农民工次性人均收入为 2405336. 11800)036. 03 . 01 (180006. 006. 01 (1800)06. 01 (180022 51 55CC又 08 年农民其它人均收入为 1350+160=21505 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555（元） 。故选 B 考点考点 1212 考查二项式定理应用考查二项式定理应用例 13 （91 三南）已知函数证明：对于任意不小于 3 的自然数 n，1212)(

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