全国大学生数学建模竞赛论文1

1、 目录一 问题重述.1 二 问题分析.2 三 模型假设.2 四 符号说明.2 五 模型的建立与求解.3 六结果分析.122一 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行 实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。 按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸 及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的 示意图. （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐 （两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两 种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐 容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。油油浮子出油管油位探测装置注 油 口检

2、查 口地平线2m6m1m1m3 m油 位 高 度图图 1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之 间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2）， 根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油 位 探 针注油口水平线2.05m17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图 2 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图3二 问题分析本题主要考虑的是油罐长时间使用后的变位问题，就是要得出变位后油罐 体积与高度之间的关系，计算出罐体变位后油位高度间隔为1cm或10cm的罐容 表标定值，算出所有间隔数给出的体积，并算出所有标定值。对于第一个问题根据给出的累加进油量与油位高度，我们用二重积分得出 相关的式子，得到计算

3、出计算出来的高度与实际高度之间的差值，在有那个角 度我们分三部分对这个问题进行分析，先得到任意处的面积，在积分得到体积， 利用附录一中的数据进行计算。对于第二个问题三 模型假设 1 假设油罐的厚度是可以忽略不计的。 2 假设不油位探针，注油口，出油管所占的体积忽略不计。 3 油位探针在储油灌灌底。 4 题目所给的数据真实可靠。四 符号说明x:问题一中的横坐标与油罐的水平线平行 y:问题一中的纵坐标与油罐的纵坐标平行 z:空间坐标 z 轴上的变量 h ：是弓形的高 h :油罐倾斜的高 a ：是长半轴 b ：是短半轴 V: 未变位油罐体积4五 模型的建立与求解(1)问题一，首先建立罐体未变位时的体积的求解，计算的罐体高度与实际高度 之间的差值 正常时的高度是已知的，要求出截面的储油面积,求出任意一点的面积，之后对 高度进行积分，得到体积。如下所示：图 1 小椭圆截面 根据图中已知条件得到方程：16 . 089. 02222 zx于是有：222 2 6 . 0 89. 089. 0zx根据面积对高求积分可得体积为：dyybbaVbhb222)arcsin(2)(22 bbhabhabbhba

4、ab利用拟合得到的方程：根据此得到理论值，用 matlab 与所测量的值进行拟合，如图所示：0.20530.2867)(h3.5642-0.2867)x(h2.6155-230.2867)x(h0.31540.2867)x(h0.0212)320.2867h(3417.36yh)-(11.71330.2867)(h) 160.2867harcsin(1850.2867)x(h0.0007)95图 2 未变位的油量图 根据 V 的体积公式得到变位后储油量与测量油位高度，如下图所示： 图 3 拟合后的储油量与标准值所得的数值表如下所示：6表 1 拟合后储油量与变准储油量进油测量值油罐高度（dm）进油计算值油罐高度3018.838.52843018.58.5284 3068.838.663068.58.66 3118.838.79323118.58.7932 3168.838.92823168.58.9282 3168.918.92843168.58.92843218.919.06533218.59.06533268.919.20453268.59.20453318.919.34613318

5、.49.34613368.919.49053368.49.49053418.919.6383418.49.6383468.919.78913468.39.78913518.919.94433518.39.94433568.9110.10433568.310.10433618.9110.26993618.210.26993668.9110.44253668.210.44253718.9110.62373718.210.62373768.9110.81593768.110.8159 3818.9111.02333818.111.0233罐体未变位时罐容表的具体模型如下图所示：图 3 储油罐正面图xyz7图 5 无变位时的差值拟合下面分为三种情况计算 V 的函数: 对给出的第一组数据可知，当储油罐左面达到最大值时，出油油位高度为 1171.31mm1035.36mm，又当储油罐右端达到最小值时，油位高度为 146.9mm411.73mm，所以可以断定储油高度应在此之间，故只需对中间段进行 积分，得到图 4 变位的小椭圆油罐正面示意图8。dyybbaVbhb222对于问题 2 我们首先假设储油

6、罐没有发生变位，对其进行体积积分，并求 解出器体积积分表达式，75.3322530)15(25.16(1530)15(1515arccos25.16 21515arccos2 .296222 222 22hhhhhhhhy得到有关数据如下： 表 2 有关数据第一部分第二部分求和1实际值差值拟和值求和2拟和差值拟和后误差313.2636.7949.9962.8612.9614.9839964.88392.02390.0021 019670 565333.9660.6994.51012.8618.3615.18061009.6806- 3.1794- 0.0031 390320 479359.66901049.61062.8613.2615.52171065.12172.26170.0021 279378 281381714.31095.31112.8617.5615.91321111.2132- 1.6468- 0.0014 797908 093404.8740.91145.71162.8617.1616.48391162.1839- 0.6761- 0.0005 814113 4788

7、429.8768.71198.51212.8614.3617.25621215.75622.89620.0023 879095 691451792.11243.11262.8619.7618.06341261.1634- 1.6966- 0.0013 434584 99475.4818.71294.11312.7918.6919.16781313.26780.47780.0003 639576 7792498843.21341.21362.7921.5920.37081361.5708- 1.2192- 0.00089946352 7029520.9867.81388.71412.7324.0321.76281410.4628- 2.2672- 0.0016 048360 267543.8892.31436.11462.7326.6323.33181459.4318- 3.2982- 0.0022 548248 822568.8918.81487.61512.7325.1325.25331512.85330.12338.1508 266512 E-05592.8944.11536.91

8、562.7325.8327.29161564.19161.46160.0009 352863 2585616.5968.81585.31612.7327.4329.48171614.78172.05170.0012 721906 333640.3993.61633.91662.7328.8331.86891665.76893.03890.0018 276569 257661.51015.61677.11712.7335.6334.14891711.2489- 1.4811- 0.0008 647597 6949685.41040.11725.51762.7337.2336.86221762.3622- 0.3678- 0.0002 086536 2251708.810641772.81812.7339.9339.6921812.492-0.238- 0.0001 312936 8411733.11088.61821.71862.7341.0342.7671864.4671.7370.0009 325022 9502754.51110.21864.71912.7348.0345.6127

9、1910.3127- 2.4173- 0.0012 637957 265779.211351914.21962.7348.5349.03551963.23550.50550.0002 575494 33710802.61158.419612012.7351.7352.40742013.40740.67740.0003 365578 0954823.61179.22002.82062.7359.9355.53232058.3323- 4.3977- 0.0021 319804 337848.71203.92052.62112.7360.1359.37712111.9771- 0.7529- 0.0003 563635 6752872.312272099.32162.7363.4363.09852162.3985- 0.3315- 0.0001 532784 9524896.21250.32146.52212.7366.2366.96592213.46590.73590.0003 325755 96669191272.42191.42262.7371.3370.73242262.1324- 0.5976- 0.0002 641057 4837942.81295.32238.12312.7374.6374.7

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