2021年20届,高三第四次月考（12月）数学（理）试题（解析版）_0

1、不问收获，但问耕耘，把最好的资料送给最好的自己！20届,高三第四次月考（12月）数学（理）试题（解析版）姓名：XXX时间：20XX年X月X日20XX届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题 一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】直接通过解不等式求出. 【详解】 解：集合， 故选：C. 【点睛】 本题考查集合补集的运算，是基础题. 2若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由纯虚数的定义可得m0，故，化简可得 【详解】 复数zm（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）0且（m+1）0， 解得m0，故zi，故i 故选：B 【点睛】 本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题 3设数列前n项和为，已知，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可. 【详解】 解：当时， 整理得， 又，得， ，得， ，得， 故选：C. 【点睛】 本题考查数列递推式的应用，是基础题. 4设，若双曲线的离心率为2，则双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【答案】B 【解析】先通过的

2、离心率求出的关系，利用的关系进一步可求出的离心率. 【详解】 解：对于有，得， 对于有，得， 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，是关键是找到的关系，是基础题. 5已知函数，则（ ） A的图像关于直线对称 B的图像关于点对称 C在单调递减 D在上不单调 【答案】B 【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明. 【详解】 解：，得函数定义域为， ， ， 所以，排除A；，排除C； 在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 故在定义域内单调递增，故排除D； 现在证明B的正确性： ， 所以的图像关于点对称， 故选：B. 【点睛】 本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题. 6已知向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直. 【详解】 ，因为，所以，解得， 当时，所以向量与向量的夹角为 故选D 【点睛】 这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量

3、外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 7过点作圆与圆的切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（ ） A B C D5 【答案】B 【解析】通过切线长定理得出点在线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线方程，代入点坐标，进一步代入，利用二次函数的性质求其最小值即可. 【详解】 如图： 由圆的切线的性质：， 又， ， 所以点在线段的垂直平分线上， 的垂直平分线为，即， 点在，所以点的坐标满足， ， 的最小值为， 故选：B. 【点睛】 本题考查圆的切线问题，关键是将目标式转化为一个变量的函数，求函数的最值即可，难度不大，考查了学生的计算能力. 8已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（） A先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 C先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】由题意可知，可得：，将的图

4、象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A. 9A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说“你不是最差的”；对C说：“你比A，B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（ ）种不同情况. A720 B240 C180 D128 【答案】C 【解析】根据裁判所说，AB不是第一，B不是第六，C比AB成绩都好，对C的名次分类讨论求出结果. 【详解】 C比AB成绩都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五， 当C是第四名时，B只能第五，A只能第六，共种； 当C是第三名时，共种， 当C是第二名时，共种， 当C是第一名时，共种， 综上：总共种， 故选：C. 【点睛】 本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题. 10若函数在区间最大值是M，最小值是m，则（ ） A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】设，则，则，结合二次函数的图象和性质，设函数在处取的最大值，在

5、处取的最小值，且，则，即可得到答案 【详解】 解：设，则， ， 设函数在处取的最大值，在处取的最小值， ，且， ， ， 与a有关，但与b无关， 故选：B 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键 11已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果 【详解】 解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径， 由图 ，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴， 过球心向地面做垂线，垂足是， 在构成的直角三角形中， ， 故选：B 【点睛】 本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量 12已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12

6、，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，若，则（ ） A65 B70 C71 D72 【答案】C 【解析】由题意正偶数为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律 【详解】 解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数 又因为指图中摆放的第行第列， 所以先求第行的最后一个偶数， 该偶数小于20XX且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的， ， 当时， 第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982， 利用等差数列的任意两项之间关系可知20XX应出在该行的第45-19=26列，故， 所以 故选：C 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题 二、填空题 13设为直线与圆的交点，则_. 【答案】-1 【解析】将坐标代入直线和圆的方程，消去可得的值. 【详解】 解：因为为直线与圆的交点， 将坐标代入直线和圆的方程得

7、， ， 将得，得， 故答案为： 【点睛】 本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题. 14已知函数为奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_. 【答案】 【解析】求出时的函数的解析式，计算，的值，求出切线方程即可 【详解】 解：函数是奇函数， ， 当时， 不妨设，则， 故， 故时， 故， 故， 故切线方程是：， 整理得：， 故答案为： 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题 15在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为_. 【答案】3 【解析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案 【详解】 解：根据题意，如图， 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系： 则， 则BD的方程为xy1， 点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径， 则圆C的方程为； P在圆C上，设P的坐标为， 则， 若，则， 则有； ， 即的最大值

8、为3； 故答案为：3 【点睛】 本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题 16在中，D是BC边上一点，且与面积之比为，则_. 【答案】 【解析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值 【详解】 解：中，BADDAC60，如图所示； ； 由余弦定理得， ， 解得AC6， AB10； ； ， 解得 故答案为： 【点睛】 本题考查了解三角形的应用问题，是基础题 三、解答题 17的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出的值，即可确定出角A的大小； (2)由的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值 【详解】 解：（1）由可得：， 由正弦定理可得： ， ， ， ， ； （2）由（1）知，由余弦定理得， 即 ，所以（当且仅当时取等号） ， 所以面积的最大值为. 【点睛】 此题考查了正弦、余弦定理，

9、三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18设等差数列的公差为d前n项和为，等比数列的公比为q，已知，. （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前n项和. 【答案】（1），或，；（2） 【解析】(1)由已知求得公差和首项即可； (2) ，利用错位相减法可得 【详解】 解：（1）由，则或， 当时，； 当时，； （2）当时，由（1）可得，则， ， ， 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题 19已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M的轨迹方程C； （2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程； （2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点 【详解】 解：（1）设动圆圆心为，则，化简得； （2）易知直线l的斜率存在，设，则 由，得， 由韦达定理有：，. 从而， 即，则 则直线， 故直线过定点. 【点睛】 本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题 20已知函数. （1）若，求k； （2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有. 【答案】（1）；（2）k的取值范围是 【解析】（1）先验证不合题意，当，通过导数确定单调性及最值来求得的值； （2）分，讨论，构造函数，利用导数求其单调性及最值，进而可得k的取值范围. 【详解】

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