【全国百强校】重庆市2019届高三三月测试题数学（理）试题（解析版）

1、 重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1. 已知全集，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可【详解】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则故选C【点睛】正确理解集合M、N所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键2. 设，则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可详解】解：，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件故选B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键属于基础题.3. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系【详解】，；故选A【点睛】本题考查对数函数、指数函

2、数的单调性，指数函数的值域,关键是找到a,b,c的范围.4. 函数的零点一定位于区间（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）0，f（3）0；从而可得解【详解】函数f（x）在其定义域上连续，f（2）2+226ln220，f（3）ln3+236ln30；故函数的零点在区间（2，3）上，故选B【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题5. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心【详解】函数，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos2x的图象，令，解得：x（kZ），当k0时，函数的对称中心为（）故选A【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，三角函数平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，注意最后结果对称中心的纵坐标易错写为06. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如如图程序框图的算

3、法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的等于( )A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.7. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A. 岁B. 岁C. 岁D. 岁【答案】C【解析】【分析】根据题意

4、，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁故选C【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可.【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题.9. 若平面向量满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】设向量的夹角为，则，于是可设，令，则，由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上又，表示

5、圆上的点与点间的距离，的最大值为故选D【点睛】由于向量具有数形两方面的性质，所以在解答向量的有关问题时可借助坐标，将向量的问题转化为数的运算的问题，如本题中最值的计算问题，通过建立适当的平面直角坐标系，将向量模的问题转化为距离问题求解，考查数形结合和转化的运用，同时也考查计算能力10. 某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用隔板法得到共计有n21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m8，由此能求出结果【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何

6、人”的情况只有1种，即（乙1，丙1）“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m2+3+2+16，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p故选B【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11. 设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出，由余弦定理即可求得a与c的关系，进而求得离心率【详解】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点所以 ，即 因为，所以又因所以在三角形AF1F2中，根据余弦定理可得 ，代入得，化简得 所以离心率为 所以选A【点睛】本题考查了椭圆的基本性质及其综合应用，余弦定理求椭圆斜率的用法，计算量较大，易出错，属于难题12. 若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在R上都是增函数，在R上恒成立，令y=tlnt,则，(0,1)上,y0，t=1时,ymin=1，的最小值为，a，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

7、0分13. 已知复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数_【答案】【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】，故答案为1i【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14. 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则_【答案】2【解析】【分析】先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值，再对二项式中的x赋值1列出关于a的方程，即可求出a的值【详解】由题意，根据二项式系数和，得， 又令，得各项系数和为，故答案为2【点睛】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键15. 已知定点，点的坐标满足，当（为坐标原点）的最小值是2时，实数的值是_【答案】2【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）定点A（2，0），点P（x，y），（x，y），（2，0），设zx，要使当（O为坐标原点）的最小值是2时，即x2时，点P落在直线xa上

8、，此时a2故答案为2【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，向量数量积，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，是基础题16. 如图，在正方形中，分别为线段，上的点，将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为_【答案】【解析】【分析】由题旋转过程中AB和DF成为圆锥的母线，考虑其位置关系即可解答【详解】由题绕直线、绕直线各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB和DF成为圆锥的母线，所以无论怎么旋转，都有，利用几何体性质得：最大角是AB与BE的对称直线B和DF关于直线CD的对称直线D在同一平面内时所成角，为故答案为【点睛】本题考查两异面直线所成的角，圆锥的性质，将问题转化为两个圆锥的母线的位置关系是关键，是中档题三、解答题17. 已知中，（）（1）若，求的长；（2）若，求的值【答案】（I）；（II）.【解析】（）因为，所以，即，在中，由余弦定理得： ， 故.（II）依题意，.如图，在中，由正弦定理得， ，在中，由正弦定理得，.18. 某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码123456年产量（万吨）6.66.777.17.274（I）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据， ， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（参考数据：，计算结果保留小数点后两位）【答案】（1） （2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨【解析】【分析】（1）先求得，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到的值，从而求得线性回归方程.（2）将代入（1）求得的回归直线方程，来求年产量的预测

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