444编号等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)

1、第 1 页 共 12 页 等比数列知识点总结与典型例题等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：、等比数列的定义：，称为公比公比 * 1 2, n n a q qnnN a 0且q 2、通项公式：、通项公式： ，首项：；公比： 1 1 11 0,0 nnn n a aa qqA Ba qA B q 1 aq 推广： n mn m nn n m nm mm aa aa qqq aa 3、等比中项：、等比中项： （1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或, ,a A bAab 2 AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（ （2）数列是等比数列 n a 2 11nnn aaa 4、等比数列的前项和公式：、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q 1n Sna （2）当时，1q 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq （为常数） 11 11 nnn aa qAA BA BA qq , ,A B A B 5、等比数列的判定方法：、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的，都有为等比数列n 1 1 (0)

2、 n nnnn n a aqaq qaa a 或为常数， （2）等比中项：为等比数列 2 1111 (0) nnnnnn aaaaaa （3）通项公式：为等比数列0 n nn aA BA Ba 6、等比数列的证明方法：、等比数列的证明方法： 依据定义：若或为等比数列 * 1 2, n n a q qnnN a 0且 1 nnn aqaa 7、等比数列的性质：、等比数列的性质： （2）对任何，在等比数列中，有。 * ,m nN n a n m nm aa q （3）若，则。特别的，当时，得 * ( , , ,)mnst m n s tN nmst aaaa2mnk 2 nmk aaa 注：注： 12132nnn a aaaa a 等差和等比数列比较：等差和等比数列比较： 第 2 页 共 12 页 经典例题透析经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式类型一：等比数列的通项公式 例例 1等比数列中，, ,求. n a 19 64a a 37 20aa 11 a 思路点拨 ：思路点拨 ： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和 1 aq 1 a ，可得；或注意到下标

3、，可以利用性质可求出、，再求.q 11 a1 937 3 a 7 a 11 a 解析：解析： 法一：法一：设此数列公比为，则q 8 1911 26 3711 64(1) 20(2) a aa a q aaa qa q 由(2)得：.(3) 24 1 (1)20a qq . 1 0a 由(1)得： , .(4) 42 1 ()64a q 4 1 8a q (3)(4)得：， 4 2 1205 82 q q ,解得或 42 2520qq 2 2q 2 1 2 q 当时，； 2 2q 1 2a 10 111 64aa q 等差数列等比数列 定义 daa nn 1 )0( 1 qq a a n n 递推公 式 daa nn 1 ；mdaa nmn qaa nn1 ； mn mn qaa 通项公 式 dnaan) 1( 1 1 1 n n qaa（0, 1 qa） 中项 2 knkn aa A （0, * knNkn）)0( knknknkn aaaaG （0, * knNkn） 前n项和 )( 2 1nn aa n S d nn naSn 2 ) 1( 1 )2( 11 1 ) 1( 11 1

4、 q q qaa q qa qna S n n n 重要 性质 ),( * qpnmNqpnm aaaa qpnm ),( * qpnmNqpnm aaaa qpnm 第 3 页 共 12 页 当时，. 2 1 2 q 1 32a 10 111 1aa q 法二：法二：,又, 1937 64a aaa 37 20aa 、为方程的两实数根， 3 a 7 a 2 20640 xx 或 4 16 7 3 a a 16 4 7 3 a a , 或. 2 3117 aaa 2 7 11 3 1 a a a 11 64a 总结升华：总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零）. 举一反三：举一反三： 【变式 1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。 【答案】【答案】96 法一：法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96； 法二：法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。 【变式 2】an为等比数列，an0，且

5、a1a89=16，求 a44a45a46的值。 【答案】【答案】64； ，又 an0，a45=4 2 18945 16a aa 。 3 44454645 64a a aa 【变式 3】已知等比数列，若，求。 n a 123 7aaa 123 8a a a n a 【答案】【答案】或； 1 2n n a 3 2 n n a 法一：法一：， 2 132 a aa 3 1232 8a a aa 2 2a 从而解之得，或， 13 13 5, 4 aa a a 1 1a 3 4a 1 4a 3 1a 当时，；当时，。 1 1a 2q 1 4a 1 2 q 故或。 1 2n n a 3 2 n n a 法二法二：由等比数列的定义知， 21 aa q 2 31 aa q 代入已知得 2 111 2 111 7 8 aa qa q a a q a q 第 4 页 共 12 页 2 1 33 1 (1)7, 8 aqq a q 2 1 1 (1)7, (1) 2(2) aqq a q 将代入（1）得， 1 2 a q 2 2520qq 解得或2q 1 2 q 由（2）得或 ，以下同方法一。 1 1 2

6、a q 1 4 1 2 a q 类型二：等比数列的前类型二：等比数列的前 n 项和公式项和公式 例例 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q. 解析：解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1. 由得， 369 2SSS 369 111 (1)(1)2(1) 111 aqaqaq qqq 整理得 q3(2q6-q3-1)=0， 由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0， 因 q31，故，所以。 3 1 2 q 3 4 2 q 举一反三：举一反三： 【变式 1】求等比数列的前 6 项和。 1 1 1, 3 9 【答案】【答案】； 364 243 ， 1 1a 1 3 q 6n 。 6 6 6 1 11 3 31364 1 1 23243 1 3 S 【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5. 【答案】【答案】； 121 121 9 ，则 a1=1 或 a1=9 3 22 273aa 3 1(

7、1 )1 133 13 aq qq q 第 5 页 共 12 页 . 5 5 55 1 91 1 31213 121S 1 1 39 1 3 S 【变式 3】在等比数列中，求和。 n a 1 66 n aa 21 128 n aa 126 n S nq 【答案】【答案】或 2，； 1 2 q 6n ， 211nn aaa a 1 128 n a a 解方程组，得 或 1 1 128 66 n n a a aa 1 64 2 n a a 1 2 64 n a a 将代入，得， 1 64 2 n a a 1 1 n n aa q S q 1 2 q 由，解得； 1 1 n n aa q 6n 将代入，得， 1 2 64 n a a 1 1 n n aa q S q 2q 由，解得。 1 1 n n aa q 6n 或 2，。 1 2 q 6n 类型三：等比数列的性质类型三：等比数列的性质 例例 3. 等比数列中，若,求. n a 56 9aa 3132310 loglog.logaaa 解析：解析： 是等比数列， n a 11029384756 9a aaaaaaaaa 1032313 l

8、ogloglogaaa 55 3123103563 log ()log ()log 910a aaaaa 举一反三：举一反三： 【变式 1】正项等比数列中，若 a1a100=100; 则 lga1+lga2+lga100=_. n a 【答案】【答案】100； lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100) 而 a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。 【变式 2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 8 3 27 2 _。 【答案】【答案】216； 法一：法一：设这个等比数列为，其公比为， n aq 第 6 页 共 12 页 ， 1 8 3 a 44 51 278 23 aa qq 4 81 16 q 2 9 4 q 。 2336 2341111 aaaa q a qa qaq 33 3 89 6216 34 法二：法二：设这个等比数列为，公比为，则， n aq 1 8 3 a 5 27 2 a 加入的三项分别为， 2 a 3 a 4 a

9、 由题意，也成等比数列，故， 1 a 3 a 5 a 2 3 827 36 32 a 3 6a 。 23 234333 216aaaaaa 类型四：等比数列前类型四：等比数列前 n 项和公式的性质项和公式的性质 例例 4在等比数列中，已知，求。 n a48 n S 2 60 n S 3n S 思路点拨：思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中 前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。 解析：解析： 法一：法一：令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+an, b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)， b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an) 易知 b1,b2,b3成等比数列， 22 2 3 1 12 3 48 b b b S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二：法二：， 2 2 nn SS1q 由已知得 1 2 1 (1) 48 1 (1) 60 1 n n aq q aq q 得，即 5 1 4 n q 1 4 n q 代入得， 1 64 1 a q 。 3 1 3 3 (1)1 64(1)63 14 n n aq S q 法三：法三：为等比数列，也成等比数列， n a n S 2nn SS 32nn SS 第 7 页 共 12 页 ， 2 232 ()()

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