1355编号双曲线知识点总结

1、双曲线知识点 指导教师：郑军 一、双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（ （为常数） ）这两个定点叫双曲线的焦点 2121 2FFaPFPFa 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|. 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当 2a|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点 的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线 二、双曲线的标准方程： （a0，b0）(焦点在 x 轴上)；1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）(焦点在 y 轴上)；1 2 2 2 2 b x a y 1. 如果项的系数是正数，则焦点在 x 轴上 ； 如果项的系数是正数，则焦点在 y 2 x 2 y 轴上. a 不一定大于 b. 2. 与双曲线共焦点

2、的双曲线系方程是1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 kb y ka x 3. 双曲线方程也可设为： 22 1(0) xy mn mn 例题：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线C 22 1 169 xy (3,4)PC 的轨迹方程。 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1点与双曲线： 点在双曲线的内部 00 (,)P xy 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 点在双曲线的外部 00 (,)P xy 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 点在双曲线上 00 (,)P xy 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 00 22 -=1 xy ab 2直线与双曲线： （代数法） 设直线，双曲线联立解得: l ykxm)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 02)( 222222222 bamamkxaxkab 1)时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；0m bb k aa ，或 k 不存在时直线与双曲线没有交点； b k a b

3、 k a 2)时，0m 存在时，k 若0 222 kab ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； a b k 若， 222 0ba k 222222222 ( 2)4()()a mkba ka ma b 222222 4()a b mba k 时，直线与双曲线相交于两点；0 2222 0mba k 时，直线与双曲线相离，没有交点；0 2222 0mba k 时，直线与双曲线有一个交点；0 2222 0mba k 22 2 2 mb k a 若不存在，时，直线与双曲线没有交点；kama 直线与双曲线相交于两点；mama 或 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系： 设直线过定点，双曲线: l ykxm 00 (,)P xy)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1).当点在双曲线内部时： 00 (,)P xy ，直线与双曲线两支各有一个交点； bb k aa ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； a b k 或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点； b k a b k a k 2).当点在双曲线上时： 00 (,)P xy 或，直线与双曲线只交于

4、点； b k a 2 0 2 0 b x k a y 00 (,)P xy 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ； bb k aa （）或 （）或或不存在， 2 0 2 0 b x k a y 0 0y 2 0 2 0 b xb k aa y 0 0y b k a k 直线与双曲线在一支上有两个交点； 当时， 0 0y 或不存在，直线与双曲线只交于点； b k a k 00 (,)P xy 或时直线与双曲线的一支有两个交点； b k a b k a 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ； bb k aa 3).当点在双曲线外部时： 00 (,)P xy 当时，0,0P ，直线与双曲线两支各有一个交点； bb k aa 或或不存在，直线与双曲线没有交点； b k a b k a k 当点时， 0m 时，过点的直线与双曲线相切 22 2 mb k a 00 (,)P xy 时，直线与双曲线只交于一点； b k a 几何法：直线与渐近线的位置关系 例 ： 过点的直线 和双曲线，仅有一个公共点，求直线 的方(0,3)Pl 2 2 :1 4 y C x l 程。 四、双曲线与

5、渐近线的关系： 1. 若双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y 2. 若双曲线方程为（a0，b0）1 2 2 2 2 b x a y 渐近线方程： 22 22 0 yx ab a yx b 3. 若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为, . 2 2 2 2 b y a x 0 4. 若双曲线与有公共渐近线1 2 2 2 2 b y a x 则双曲线的方程可设为（，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴 2 2 2 2 b y a x 00 上） 五、双曲线与切线方程： 1.双曲线上一点处的切线方程是. 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 (,)P xy 00 22 1 x xy y ab 2.过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 (,)P xy . 00 22 1 x xy y ab 3.双曲线与直线相切的条件是. 22 22 1(0,0) xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 六、双曲线的性质： 双曲线

6、标准方程（焦点在轴）x )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 标准方程（焦点在轴）y )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的 1 F 2 F 12 FF 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aMFMFM2 21 21 2FFa 第二定义：平面内与一个定点和一条定直线 的距离的比是常数 ，当时，Fle1e 动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数F （）叫做双曲线的离心率。e1e 定义 范围 ，xayR，yaxR 对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为xy2a2b 对 称 中 心 原点(0,0)O 1( ,0)Fc 2( ,0) F c 1(0, )Fc 2(0, ) Fc 焦 点 坐 标 焦点在实轴上，；焦距： 22 cab 12 2FFc 顶 点 坐 标 （,0） (,0)aa(0, ,) (0，)aa 离心率1)， ， e 越大则双曲线开口的开阔度越大e a c e( 222 cab c a x 2 c a y 2 准 线 方

7、程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a22 顶 点 到 准 线 的 距离 顶点（）到准线（）的距离为 1 A 2 A 1 l 2 l c a a 2 x y P P 1 F 2 F x y x y P P 1 F 2 F x y x y P P 1 F 2 F x y P P x y P P 1 F 2 F x y P P 顶点（）到准线（）的距离为 1 A 2 A 2 l 1 l a c a 2 焦 点 到 准 线 的 距离 焦点（）到准线（）的距离为 1 F 2 F 1 l 2 l 22 ab c cc 焦点（）到准线（）的距离为 1 F 2 F 2 l 1 l c c a 2 渐近线 方程 () x a b y 实 虚 ()y a b x 实 虚 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方程 （）k b y a x 2 2 2 2 0k （）k b x a y 2 2 2 2 0k 直 线 和 双 曲 线 的位置 双曲线与直线的位置关系：1 2 2 2 2 b y a x ykxb 利用转化为一元二次方程用判别式确定。 22 22 1 xy ab ykxb 二次

8、方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 22 1212 1()4ABkxxx x 通径： 21 AByy 过 双 曲 线 上 一 点 的 切 线 或利用导数1 2 0 2 0 b yy a xx 或利用导数 00 22 1 y yx x ab 七、 弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、B 的横坐标，则ykxb 12 ,x x 22 1212 ()()ABxxyy ，若分别为 A、B 的纵 2 222 121212 1141 | ABkxxkxxx xk a 12 ,y y 坐标，则。 2 121212 22 11 114AByyyyy y kk 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点，则弦长。 a b AB 2 2 | 若弦 AB 所在直线方程设为，则。xkybAB 2 12 1kyy 特别地， 焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后， 利用第二定义求解， 例：直线与双曲线相交于两点，则=_1 xy1 32 22 yx BA,AB 八、焦半径公式： 双曲线（a0，b0）上有一动点1 2 2 2 2 b

9、y a x 00 (,)M xy 当在左支上时, , 00 (,)M xy 10 |MFexa 20 |MFexa 当在右支上时, , 00 (,)M xy 10 |MFexa 20 |MFexa 注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时， 0 x 00 (,)M xy 1 |MFca ，当在左支端点时， 2 |MFca 00 (,)M xy 1 |MFca 2 |MFca 九、等轴双曲线： （a0，b0）当时称双曲线为等轴双曲线；1 2 2 2 2 b y a x ab 则：1. ；ab 2.离心率；2e 3.两渐近线互相垂直，分别为 y=；x 4.等轴双曲线的方程，； 22 yx0 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线： 1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线 2.方程： 3.性质： 共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆 它们的离心率的倒数的平方和等于 1。 （a0;b0）的焦点为与，且 p 为曲线上任意一点，。1- 2 2 2 2 b y a x 1 F 2 F2 21 PFF 则的面积 21F PFcot 2 bS 焦点三角形面积公式：)( , 2 cot 21 2 21 PFFbS PFF 双曲线双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的

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