2020年高中数学《二项式定理》拔高难度-讲义

1、二项式定理引入上图是什么啊？有什么规律吗？解读1、二项式定理（1）二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理（2）二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： （3）二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为 项，各项的幂指数状况是各项的次数都等于二项式的幂指数字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到（4）几点注意通项是的展开式的第 项，这里二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念设，则得公式： 通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值2二项式系数

2、的性质（1）杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和”（2）二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，）因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，等值时，的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当是偶数时，

3、是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项。这两项的二项式系数相等并且最大，最大为二项式系数的和为，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题探究1、提出问题：引入：二项式定理研究的是的展开式。如，那么：=? =? =? 更进一步：=？2、对展开式的分析 展开后其项的形式为：考虑，每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为恰有1个取的情况有种，则前的系数为恰有2个取的情况有 种，则前的系数为所以 类似地 思考：=?问题：1)展开后各项形式分别是什么？ 2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取的方法种数3)你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取的情况有1种，即,则前的系数为恰有1个取的情况有种，则前的系数为恰有2个取的情况有 种，则前的系数为恰有3个取的情况有 种，则前的系数为恰有4个取的情况有种，则前的系数为则 推广：得二项展开式定理：一般地，对于有右边的多项式叫做的二项展开式

4、：二项展开式的通项，记作： 二项式系数注：1）二项展开式共有项，每项前都有二项式系数2）各项中的指数从n起依次减小1，到0为此各项中的指数从0起依次增加1，到n为此如典例精讲一选择题（共6小题）1（2018浉河区校级一模）如果(ax-34x)(x+1x)6的展开式中各项系数的和为16，则展开式中x3项的系数为（）A392B-392C-212D212【分析】(ax-34x)(x+1x)6展开式中令x=1求得各项系数和，得a的值；再利用通项公式求得（x+1x）6展开式中含x2、x4的系数，即可求得对应展开式中x3项的系数【解答】解：(ax-34x)(x+1x)6展开式中，令x=1得展开式中各项系数的和为（a34）（1+1）6=16，解得a=1；（x34x）（x+1x）6，又（x+1x）6的展开式通项公式为Tr+1=C6rx6r(1x)r=C6rx62r，由62r=2，解得r=2，（x+1x）6展开式中含x2的系数为C62=15；令62r=4，解得r=1，（x+1x）6展开式中含x4的系数为C61=6；（x34x）（x+1x）6展开式中x3项的系数为115346=212故选：D2（2018成

5、都模拟）若(x-ax)6的展开式中含x32项的系数为160，则实数a的值为（）A2B2C22D-22【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中含x32项的系数，列方程求得a的值【解答】解：(x-ax)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6r(-ax)r=（a）rC6rx6-3r2，令63r2=32，解得r=3，展开式中含x32项的系数为（a）3C63=160，解得a=2故选：B3（2017秋武邑县校级期末）若a0，（x2y）（ax+y）5展开式中，x4y2的系数为20，则a等于（）A1B-32C2D-52【分析】根据（x2y）（ax+y）5展开式中x4y2的系数列方程，把A、B、C、D中的数值代入验证可得a的值【解答】解：（x2y）（ax+y）5展开式中，x4y2的系数为 xC52(ax)3y2-2yC51(ax)4y=10a3(1-a)x4y2，令10a3（1a）=20，分别把A、B、C、D中的数值代入验证得a=1满足方程故选：A4（2018春安顺期末）若（x2+1）（x3）9=a0+a1（x2）+a2（x2）2+a3（x2）3+a11（x2）11，则a1+a2+a11的值为

6、（）A0B5C5D255【分析】在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+a11，从而求得结果【解答】解：在（x2+1）（x3）9=a0+a1（x2）+a2（x2）2+a3（x2）3+a11（x2）11中，令x=2，得a0=（4+1）（1）=5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+a11=（9+1）0=0；a1+a2+a3+a11=5故选：C5（2018春大连期末）(3x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2（a1+a3）2的值为（）A2B2C8D8【分析】根据题意，分别令x=1和x=1，求出a0+a1+a2+a3与a0a1+a2a3的值，再因式分解求出（a0+a2）2（a1+a3）2的值【解答】解：由(3x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，令x=1，得(3-1)3=a0+a1+a2+a3，令x=1，得(-3-1)3=a0a1+a2a3，（a0+a2）2（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3）（a0a1+a2a3）=(3-1)3(-3-1)3=(-1+3)(-1-3)3=（13）3=8故选：D6（2017天心区校级学

7、业考试）设（x2x）6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则AB等于（）A4B4C26D26【分析】根据二项式展开式的通项公式求出x3的系数A和二项式系数B，再计算AB的值【解答】解：二项式（x2x）6展开式的通项公式为Tk+1=C6kx6k（2x）k=C6k（2）kx6-3k2，令63k2=3，解得k=2，所以T3=C62（2）2x3=60x3，所以x3的系数为A=60；又二项式系数为B=C62=15，所以AB=6015=4故选：A二填空题（共7小题）7（2018春江阴市校级期中）若（x+1）4（x+4）8=a0（x+3）12+a1（x+3）11+a2（x+3）10+a11（x+3）+a12，则log4（a1+a3+a5+a11）=72【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x=2，则有28=256=a0+a1+a2+a12，令x=4，则有：0=a0a1+a2+a12，两式相减，变形可得a1+a3+a5+a11=27，由对数的运算性质分析可得答案【解答】解：根据题意，若（x+1）4（x+4）8=a0（x+3）12+a1（x+3）11+a2（x+3）10+a11（x+3）+a12，令

8、x=2，则x+3=1，即有：28=256=a0+a1+a2+a12，令x=4，则x+3=1，则有：0=a0a1+a2+a12，可得：28=256=2（a1+a3+a5+a11），变形可得：a1+a3+a5+a11=27，则log4（a1+a3+a5+a11）=log4（27）=72；故答案为：728（2017秋武昌区校级期末）在（1+x+x2）n=D2n0+D2n1x+D2n2x2+D2n2n-1x2n1+D2n2nx2n的展开式中（其中D2n0，D2n1，D2n2n叫做项式系数），当n=1，2，3，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在（1+ax）（1+x+x2）5的展开式中，x8的系数为75，则实数a的值为2；（2）D360C180D361C181+D362C182D363C183+D3618C1818=C1812（可用组合数作答）【分析】（1）利用广义杨辉三角形得出第4行的系数，并计算出第五行，再计算出（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中x8系数的表达式，即可求出a；（2）利用二项式定理得出（x1）18的展开式，将D360C180D361C181+D362C182D363C183+D3618C1818视为展开式（x1）18（1+x+x2）18=（x31）18中x18的系数，然后利用二项式展开式的通项即可求出答案【解答】解：（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a=75，解得a=2；（2）由题意可知，(1+x+x2)18=D360+D3

《2020年高中数学《二项式定理》拔高难度-讲义》由会员桃***分享，可在线阅读，更多相关《2020年高中数学《二项式定理》拔高难度-讲义》请在金锄头文库上搜索。