2020年中考数学压轴题：二次函数的存在性问题考点专练

1、20202020 年中考数学压轴题：二次函数的存在性问题考点专练年中考数学压轴题：二次函数的存在性问题考点专练 【考点【考点 1 1】二次函数与相似三角形问题】二次函数与相似三角形问题 【例【例 1 1】已知抛物线已知抛物线 2 3yaxbx与与 x x 轴分别交于轴分别交于(3,0)A ，(1,0)B两点，与两点，与 y y 轴交于点轴交于点 CC （1 1）求抛物线的表达式及顶点）求抛物线的表达式及顶点 D D 的坐标；的坐标； （2 2）点）点 F F 是线段是线段 ADAD 上一个动点上一个动点 如图如图 1 1，设，设 AF k AD ，当，当 k k 为何值时，为何值时， 2 CFAD 1 . . 如图如图 2 2，以，以 A A，F F，OO 为顶点的三角形是否与为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点相似？若相似，求出点 F F 的坐标；若不的坐标；若不 相似，请说明理由相似，请说明理由 【答案【答案】 （1） 2 23yxx ，D 的坐标为( 1,4)； （2） 1 2 k ；以 A，F，O 为顶点的三 角形与ABC相似，F 点的坐标为 6 18 , 55 或(

2、2,2) 【解析【解析】(1)将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数 表达式，可求得顶点D( 1,4)； (2)由 A、C、D 三点的坐标求出AC 3 2 ，DC 2 ，AD2 5，可得ACD为直角三角 形，若 1 CFAD 2 ，则点 F 为 AD 的中点，可求出 k 的值； 由条件可判断DACOBC， 则OAFACB， 若以 A， F， O 为顶点的三角形与ABC 相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45 时，可分别求出点 F 的 坐标 【详解】(1)抛物线 2 yaxbx3过点A(3,0)，B(1,0)， 9330 30 ab ab ，解得： 1 2 a b ， 抛物线解析式为 2 yx2x3 ； 2 2 yx2x3x14 ， 顶点 D 的坐标为( 1,4)； (2)在RtAOC中，OA3，OC3， 222 ACOAOC18， D1,4，C 0,3，A3,0， 222 CD112， 222 AD2420， 222 ACCDAD， ACD为直角三角形，且ACD90 ， 1 CFAD 2 ， F 为 AD 的中点， AF1 AD2

3、 ， 1 k 2 ； 在RtACD中， DC21 tanACD AC33 2 ， 在RtOBC中， OB1 tanOCB OC3 ， ACDOCB， OAOC， OACOCA45 ， FAOACB， 若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑： 当AOFABC时，AOFCBA， OF BC， 设直线 BC 的解析式为ykxb， 0 3 kb b ，解得： 3 3 k b ， 直线 BC 的解析式为y=3x+3， 直线 OF 的解析式为y=3x， 设直线 AD 的解析式为y=mx+n， 4 30 kb kb ，解得： 2 6 k b ， 直线 AD 的解析式为y=2x6， 26 3 yx yx ，解得： 6 5 18 5 x y ， 6 18 F, 55 当AOFCAB45 时，AOFCAB， CAB45 ， OFAC， 直线 OF 的解析式为y= x ， 26 yx yx ，解得： 2 2 x y ， F2,2， 综合以上可得 F 点的坐标为 6 18 , 55 或(2,2) 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形 的判

4、定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质； 会运用分类讨论的思想解决数学问题 【变式【变式 1-11-1】如图，抛物线如图，抛物线 2 y2axxc经过经过( 1,0)A ，B两点，且与两点，且与y轴交于点轴交于点(0,3)C，抛，抛 物线与直线物线与直线1yx 交于交于A，E两点两点 （1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2 2）坐标轴上是否存在一点坐标轴上是否存在一点Q，使得使得AQE是以是以AE为底边的等腰三角形？若存在为底边的等腰三角形？若存在，请直接写请直接写 出点出点Q的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由 （3 3）P点在点在x轴上且位于点轴上且位于点B的左侧的左侧，若以若以P，B，C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABE相似相似，求点求点P 的坐标的坐标 【答案【答案】（1） 2 yx2x3 ；（2） 存在， 4 0Q，或04， 理由见解析；（3） 3 p0 5 ，或 9 p0 2 ， 【解析【解析】 （1）将 A、C 的坐标代入 2 y2axxc求出 a、c 即可得到解析式； （2）先求出 E 点坐标，然

5、后作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q，根据垂直 平分线的性质可知 Q、与 A、E，Q与 A、E 组成的三角形是以 AE 为底边的等腰三角形，设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可； （3）根据 A、E 坐标，求出 AE 长度，然后推出BAE=ABC=45，设p0m，由相似得 到 PBAB BCAE 或 PBAE BCAB ，建立方程求解即可 【详解】 （1）将( 1,0)A ，(0,3)C代入 2 y2axxc得： 20 3 ac c ，解得 1 3 a c 抛物线解析式为 2 y23 xx （2）存在，理由如下： 联立y1x 和 2 yx2x3 ， 2 y1 23 x yxx ，解得 1 0 x y 或 4 5 x y E 点坐标为(4,-5)， 如图，作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q， 此时 Q 点与 Q点的坐标即为所求， 设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)， 由 QA=QE，QA= QE 得： 22 1405 xx， 2222 0 10045yy 解得4x ，4y 故 Q 点坐标为

6、4 0，或04， （3）( 1,0)A ，45E， 2 2 1 45 =5 2 AE， 当 2 230 xx时，解得1x 或 3 B 点坐标为(3,0)， 3OBOC 45ABC，4AB ， 3 2BC ， 由直线1yx 可得 AE 与 y 轴的交点为(0,-1)，而 A 点坐标为(-1,0) BAE=45 设p0m，则3mBP ， PBC和ABE相似 PBAB BCAE 或 PBAE BCAB ，即 34 3 25 2 m 或 35 2 43 2 m 解得 3 5 m 或 9 2 m ， 3 p0 5 ，或 9 p0 2 ， 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数 解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键 【变式【变式 1-21-2】如图如图，已知抛物线已知抛物线 1 (2)()yxxm m (m(m0)0)与与 x x 轴相交于点轴相交于点 A A，B B，与与 y y 轴相交轴相交 于点于点 CC，且点，且点 A A 在点在点 B B 的左侧的左侧. . （1 1）若抛物线过点（）若抛物线过点（2 2，2 2） ，求抛

7、物线的解析式；，求抛物线的解析式； （2 2）在（）在（1 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 H H，使，使 AH+CHAH+CH 的值最小，若存在的值最小，若存在， 求出点求出点 H H 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由； （3 3）在第四象限内，抛物线上是否存在点）在第四象限内，抛物线上是否存在点 MM，使得以点，使得以点 A A，B B，MM 为顶点的三角形与为顶点的三角形与ACACB B 相似？若存在，求出相似？若存在，求出 mm 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. . 【答案【答案】 （1） 2 11 2 42 yxx ； （2）点 H 的坐标为（1， 3 2 ） ； （3）当 m=2 2 2 时，在第 四象限内抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似. 【解析】【解析】 分析： （1）把点（2，2）代入 1 (2)() (0)yxxmm m 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点 A、B、C 的坐标，由题意可知，

8、点 A、B 关于抛物线的对 称轴对称，这样连接 BC 与对称轴的交点即为所求的点 H，根据 B、C 的坐标求出直线 BC 的 解析式即可求得点 H 的坐标； （3）由解析式 1 (2)() (0)yxxmm m 可得点 A、B、C 的坐标分别为（-2，0） 、 （m，0） 和（0，2） ，如下图，由图可知ACB 和ABM 是钝角，因此存在两种可能性：当 ACBABM，ACBMBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解： （1）把点（2，2）代入抛物线， 得 2= 1 222m m . 解得 m=4. 抛物线的解析式为 2 111 yx2x4xx2 442 . （2）令 2 11 yxx20 42 ，解得 12 x2x4 ，. 则 A（-2，0） ，B（4，0）. 对称轴 x=- 1 2 1 1 2 4 . 2 11 yxx2 42 中当 x=0 时，y=2， 点 C 的坐标为（0，2）. 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， 连接 BC 与对称轴的交点即为点 H，此时 AH+CH 的值最小， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B（4，0） ，C（0，2）代入得： 40 2 kb b ，解得： 1 2 2 k b ， 直线 BC 的解析式为 y= 1 x2 2 . 当 x=1 时，y= 1 12 2 = 3 2 . 点 H 的坐标为（1， 3 2 ）. （3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似. 如下图，连接 AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MNx 轴于点 N， 由图易知，ACB 和ABM 为钝角，

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