2020高中数学《导数的概念及其几何意义》拔高难度-讲义

1、导数的概念及其几何意义引入中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映她在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么，如何求瞬时速度呢？解读1、导数的概念（1）函数的平均变化率：一般地，已知函数，是其定义域内不同的两点，记，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率注：这里，可为正值，也可为负值但，可以为（2）函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作这时又称在处是可导的于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”（3）可导与导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数的导函数记为或

2、（或）导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数2、导数的几何意义（1）.导数的几何意义：设函数的图象如图所示为过点与的一条割线由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于（2）.求曲线的切线方程若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.探究类型一、求曲线在点的切线：类型二、求曲线过点的切线：步骤一：设切点；步骤二：联立方程组解出；步骤三：写出切线方程.归纳总结1、导数的概念叫函数在处的导数，记作 .注意：函数应在点的附近有定义，否则导数不存在.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，）的割线斜率.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的

3、函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率.若极限不存在，则称函数在点处不可导.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导；此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.2、导数的几何意义函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率.用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）.一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条.以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为.若是三次曲线上的任一点，设过的切线与曲线相切于，则切线方程为，因为点在此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或.当点是对称中心即=-=0时，过点作曲线的切线切点是惟

4、一的，且为，故只有一条切线；当点不是对称中心即时，过点作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以为切点（亦即曲线在点处）的切线.第 19 页 共 19 页典例精讲一选择题（共5小题）1质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的速度为（）A4+4t0B0C8t0+4D4t0+4t02【解答】解：函数的导数s=4+8t，当t=t0时，s=4+8t0，即质点M在t=t0时的速度为8t0+4，故选：C2设函数f（x）=x53sin1x，x00，x=0在x=0处f（x）（）A不连续B连续，但不可导C可导，但导数不连续D可导，且导数连续【解答】解：x0时，x53sin1x0，f（0）=0，函数f（x）=x53sin1x，x00，x=0在x=0处f（x）可导，且导数连续故选：D3函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的函数图象可能是（）ABCD【解答】解：由图可得1f（x）1，切线的斜率k（1，1）且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢结合选项可知选项B符合故选：B4已知函数f(x)=ax2+bx+c，x-1f(-x-2)，x-1其图象在点（1，

5、f（1）处的切线方程为y=2x+1，则它在点（3，f（3）处的切线方程为（）Ay=2x3By=2x+3Cy=2x3Dy=2x+3【解答】解：图象在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x+1f（1）=2+1=3f（3）=f（32）=f（1）=3（3，f（3）即为（3，3）在点（3，f（3）处的切线过（3，3）将（3，3）代入选项通过排除法得到点（3，3）只满足A故选：A5对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”有同学发现：“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=13x312x2+3x512+1x-12，则g(12011)+g(22011)+g(32011)+g(42011)+g(20102011)的值是（）A2010B2011C2012D2013【解答】解：由题意，令h（x）=13x312x2+3x512，m（x）=1x-12则h（x）=x2x+3，h（x）=2x

6、1，令h（x）=0，可得x=12h（12）=1，即h（x）的对称中心为（12，1），h（x）+h（1x）=2m（x）=1x-12的对称中心为（12，0）m（x）+m（1x）=0g（x）=h（x）+m（x）g（x）+g（1x）=h（x）+h（1x）+m（x）+m（1x）=2g(12011)+g(22011)+g(32011)+g(42011)+g(20102011)=2010故选：A2 填空题（共11小题）6一质点的运动方程为s（t）=t+1，则它在t=3时的速度为14【解答】解：质点的运动方程为s（t）=t+1，s（t）=12(t+1)-12，该质点在t=3秒的速度14；故答案为：147已知定义在R上的函数f（x）满足0f（x）1，对任意实数ab，f(b)-f(a)b-a的取值范围是（0，1）【解答】解：由于定义在R上的函数f（x）满足0f（x）1，根据导数的几何意义是切线的斜率，对任意实数ab，0f(b)-f(a)b-a1即对任意实数ab，f(b)-f(a)b-a的取值范围是 （0，1）故答案为：（0，1）8（2015春宁德期末）若曲线y=x2+1的一条切线的斜率是4，则切点的横坐标

7、x=2【解答】解：由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值令导数 y=2x=4，可得 x=2，故切点的横坐标为2，故答案为：29已知函数f（x）=13x3x2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3【解答】解：f（x）=13x3x2，f（x）=x22x，令x=1，即可得斜率为：k=3故答案为310已知f（x）是可导的函数，且limx0f(x+2)-f(2)2x=-2，则曲线y=f（x）在点（2，2）处的切线的一般式方程是4x+y10=0【解答】解：limx0f(x+2)-f(2)2x=-2，12limx0f(x+2)-f(2)x=-2limx0f(x+2)-f(2)x=-4，f（2）=4曲线y=f（x）在点（2，2）处的切线的斜率为4，切线方程为y=4x+10，化为一般式为4x+y10=0故答案为4x+y10=011若直线y=x是曲线y=x33x2+ax的切线，则a=1或134【解答】解：设切点P（x0，x0）直线y=x是曲线y=x33x2+ax的切线切线的斜率为1y=x33x2+axyx=x0=3x26x+ax=x0=3x026x0+a=1点P在

8、曲线上x033x02+ax0=x0由，联立得x0=03x02-6x0+a-1=0或x02-3x0+a-1=03x02-6x0+a-1=0由得，a=1由得x023x0=3x026x0解得x0=0或32，把x0的值代入中，得到a=1或134综上所述，a的值为1或134故答案为：1或13412曲线y=13x32在点（1，73）处的切线的倾斜角为45【解答】解：点（1，73）满足曲线y=13x32的方程，点（1，73）为切点y=x2，当x=1时，y=1曲线y=13x32在点（1，73）处的切线的斜率为1，倾斜角为45故答案为4513函数f（x）的导函数f（x）在R上恒大于0，则对任意x1，x2（x1x2）在R上f(x1)-f(x2)x1-x2的符号是正（填“正”、“负”）【解答】解：函数f（x）的导函数f（x）在R上恒大于0，函数f（x）为增函数，即函数f（x）在定义域上的割线斜率k=f(x1)-f(x2)x1-x20，故答案为：正14已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，bR）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是-3a3【解答】解：由题意f（x）=3x2+2ax，当x=a3时，f（x）取到最大值，是a23a231，解得-3a3故答案为：-3a315若函数f（x）=x2+2x+a（aR，x0）图象上两点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2）处的切线相互垂直，则x2x1的最小值为1【解答】解：根据导数的几何意义，得：f（x1）f（x2）=1，即（2x1+2）（2x2+2）=1（x1x20），所以（2x1+2）0，（2x2+2）0，且（2x1+2）（2x2+2）=1，因此x2x1=12（2x1+2）+（2x2+2）-(2x1+2)(2x2+2)=1， 当且仅当（2x1+2）=（2x2+2）=1，即x1=-32，x2=-12时等号成立；所

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