六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

1、一 整除的定义 当两个整数a和 b b 0 a 被 b 除的余数为零时 商为整数 则称 a 被 b 整除或 b 整除 a 也把 a 叫做 b 的倍数 b 叫 a的约数 记作b a 如果 a被 b 除所得的余数不为零 则称a不能被 b 整除 或 b 不 整除 a 记作 b a 二 常见数字的整除判定方法 1 一个数的末位能被2 或 5 整除 这个数就能被2 或 5 整除 一个数的末两位能被4 或 25 整除 这个数就能被4 或 25 整除 一个数的末三位能被8 或 125 整除 这个数就能被8 或 125 整除 2 一个位数数字和能被3 整除 这个数就能被3 整除 一个数各位数数字和能被9 整除 这个数就能被9 整除 3 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除 那么这个数能被11 整 除 4 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7 11 或 13 整除 那么这个数能被7 11 或 13 整除 5 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9 的倍数 那么这个数能被9 整除 6 如果一个数能被99 整除 这个数从后两位开始两位

2、一截所得的所有数 如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字 如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数 的和是99 的倍数 这个 数一定是99 的倍数 7 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的2 倍 如果差是7 的倍数 则原数能被 7 整除 如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相减 验差 的 过程 直到能清楚判断为止 例如 判断133 是否 7 的倍数的过程如下 13 3 2 7 所以 133 是 7 的倍数 又例如判断6139 是否 7 的倍数的过程如下 613 9 2 595 59 5 2 49 所以 6139 是 7 的倍数 余类推 8 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 加个位数的4 倍 如果和是13 的倍数 则原数能被 13 整除 如果和太大或心算不易看出是否13 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相加 验差 的过程 直到能清楚判断为止 知识框架 数的整除 9 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的5 倍 如果差是17 的倍数 则原数能被 17 整除 如果差太大或心算不易看出是否17 的倍数

3、就需要继续上述 截尾 倍大 相减 验差 的过程 直到能清楚判断为止 10 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 加上个位数的2 倍 如果和是19 的倍数 则原数能被 19 整除 如果和太大或心算不易看出是否19 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相加 验差 的过程 直到能清楚判断为止 11 若一个整数的末三位与3 倍的前面的隔出数的差能被17 整除 则这个数能被17 整除 12 若一个整数的末三位与7 倍的前面的隔出数的差能被19 整除 则这个数能被19 整除 13 若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被23 或 29 整除 则这个数能被23 整除 备注 以上规律仅在十进制数中成立 三 整除性质 性质 1如果数 a 和数 b 都能被数c 整除 那么它们的和或差也能被c 整除 即如果c a c b 那么 c a b 性质 2如果数 a 能被数 b 整除 b 又能被数c 整除 那么a 也能被 c 整除 即如果b a c b 那么 c a 用同样的方法 我们还可以得出 性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c的积整除 那么a 也能被 b 或 c 整除 即如果bc a 那 么 b

4、 a c a 性质 4如果数 a 能被数 b 整除 也能被数c 整除 且数b 和数 c 互质 那么a 一定能被b 与 c 的乘积整除 即如果b a c a 且 b c 1 那么 bc a 例如 如果3 12 4 12 且 3 4 1 那么 3 4 12 性质 5如果数 a 能被数 b 整除 那么am 也能被 bm 整除 如果b a 那么 bm am m 为非 0 整数 性质 6如果数 a 能被数 b 整除 且数c 能被数 d 整除 那么ac 也能被 bd 整除 如果b a 且 d c 那么 bd ac 四 其他重要结论 1 能被 2 和 5 4 和 25 8 和 125 整除的数的特征是分别在这个数的未一位 未两位 未三位上 我们可 以概括成一个性质 未n 位数能被 2 n 或 5 n 整除的数 本身必能被2 n 或 5 n 整除 反过来 末n 位数 不能被 2 n 或 5 n 整除的数 本身必不能被2 n 或 5 n 整除 例如 判断19973216 91688169 能否能被 16 整除 只需考虑未四位数能否被16 因为 16 4 2 整除便可 这样便可以举一反三 运用自如 2 利

5、用连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积 因此一定可被2 整除 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3 的倍数 所以它们之积一定可以被2 整除 也可被 3 整除 所以也可以被2 3 6 整除 这个性质可以推广到任意个整数连续之积 3 一个奇位数 原序数与反序数的差一定是99 的倍数 一个偶位数 原序数与反序数的差一定是9 的倍 数 4 100113117 abcabcabc 1001 abcabc这样的数一定能被7 11 13 整除 5 9992737 111337 117913 1337481 719133 71391等等 数的整除概念 性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便 在实际问题中应用广泛 要学 好数的整除问题 就必须找到规律 牢记上面的整除性质 不可似是而非 例 1 975 935 972 要使这个连乘积的最后4 个数字都是0 那么在方框最小应填什么数 巩固 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0 例 2 把若干个自然数1 2 3 连乘到一起 如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零 那么 最后

6、出现的自然数最小应该是多少 巩固 201 202 203300L L的结果除以10 所得到的商再除以10 重复这样的操作 在第 次除以10时 首次出现余数 重难点 例题精讲 例 3 11 个连续两位数的乘积能被343 整除 且乘积的末4 位都是 0 那么这 11 个数的平均数是多少 巩固 用 1 9 这九个数字组成三个三位数 每个数字都要用 每个数都是4 的倍数 这三个三位数 中最小的一个最大是 例 4 在方框中填上两个数字 可以相同也可以不同 使4 32 是 9 的倍数 请随便填出一种 并 检查自己填的是否正确 巩固 一个六位数2727口口被 3 除余 l 被 9除余 4 这个数最小是 例 5 连续写出从1 开始的自然数 写到2008 时停止 得到一个多位数 11 20072008 请说明 这个多位数除以3 得到的余数是几 为什么 巩固 14 20082009除以 9 商的个位数字是 例 6 1 至 9 这 9 个数字 按图所示的次序排成一个圆圈 请你在某两个数字之间剪开 分别按顺时针 和逆时针次序形成两个九位数 例如 在1 和 7 之间剪开 得到两个数是193426857和 758

7、624391 如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除 那么剪开处左右两个数字 的乘积是多少 巩固 207 2007 20007 L 等首位是2 个位是7 中间数字全部是0的数字中 能被27整除 而不被81整除的最小数是 三 7 11 13 系列 例 7 一个 4 位数 把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数 已知这两个4 位数的和是以下5 个 数的一个 9865 9866 9867 9868 9869 这两个 4 位数的和到底是多少 巩固 88888ab ab ab ab ab 是 77 的倍数 则ab最大为 例 8 三位数的百位 十位和个位的数字分别是5 a和 b 将它连续重复写2008 次成为 20095 555 ab ab ababL L 1 4 4 2 4 4 3 个 如果此数能被91 整除 那么这个三位数5ab是多少 巩固 称一个两头 首位与末尾 都是1的数为 两头蛇数 一个四位数的 两头蛇数 去掉两头 得到一个两位数 它恰好是这个 两头蛇数 的约数 这个 两头蛇数 是 写出所有可能 例 9 学生问数学老师的年龄老师说 由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字

8、的和 所得结果 就是我的年龄 老师今年岁 巩固 已知两个三位数abc与 def 的和 abcdef 能被 37 整除 试说明 六位数abcdef 也能被 37 整 除 例 10 一 个 4 位数 把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数 再将新的 4 位数的千位数字移到右 端构成一个更新的四位数 已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个 9865 9867 9462 9696 9869 这两个 4 位数的和到底是多少 巩固 一个六位数各个数字都不相同 且这个数字能被17 整除 则这个数最小是 例 11 在六位数11 11 中的两个方框各填入一个数字 使此数能被17 和 19 整除 那么方框中的 两位数是多少 巩固 将数字 4 5 6 7 8 9 各使用一次 组成一个被667 整除的 6 位数 那么 这个6 位数 除以 667 的结果是多少 例 12 若4232bcd 试问 abcd 能否被 8 整除 请说明理由 巩固 证明 abcde能被 6 整除 那么2 abcde也能被 6整除 例 13 甲 乙两个三位数的乘积是一个五位数 这个五位数的后四位为1031 如果甲数的数

9、字和为 10 乙数的数字和为8 那么甲乙两数之和是 巩固 有 5 个不同的正整数 它们中任意两数的乘积都是12 的倍数 那么这5 个数之和的最小值 是 例 14 某住宅区有12 家住户 他们的门牌号分别是1 2 12 他们的依次是12 个连续的六位 自然数 并且每家的都能被这家的门牌号整除 已知这些的首位数字都小于6 并且门牌号是9 的这一家的也能被13 整除 问 这一家的是什么数 巩固 用数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 拼成一个十位数 要求前1 位数能被2 整除 前2 位数能被3 整除 前 9 位数能被10 整除 已知最高位数为8 这个十位数是 例 15 在六位数ABCDEF 中 不同的字母表示不同的数字 且满足A AB ABC ABCD ABCDE ABCDEF 依次能被2 3 5 7 11 13 整除 则 ABCDEF 的最小值是 已知当 ABCDEF 取得最大值时0C 6F 那么 ABCDEF 的最大值是 巩固 有一个九位数abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为0 并且二位数ab可被 2 整除 三位 数 abc可被 3 整除 四位数abcd 可被 4 整

10、除 依此类推 九位数abcdefghi 可被 9 整除 请 问这个九位数abcdefghi 是多少 例 16 N 是一个各位数字互不相等的自然数 它能被它的每个数字整除 N 的最大值是 巩固 a b c d各代表一个不同的非零数字 如果 abcd 是13的倍数 bcda 是11的倍数 cdab 是9的倍数 dabc是7的倍数 那么abcd 是 随练 1 若 9 位数 2008 2008 能够被 3 整除 则 里的数是 随练 2 六 位数 2008 能被 99 整除 是多少 课堂检测 随练 3 应 当在如下的问号 的位置上填上哪一个数码 才能使得所得的整数 5050 666 555LL 1 2 31 23 个 6个5 可被 7 整 除 随练4 王老师在黑板上写了这样的乘法算式 12345679 然后说道 只要同 学们告诉我你们喜欢1 2 3 4 5 6 7 8 9 中的哪个数 我在括号里填上适当的乘数 右边的积一定全 由你喜欢的数字组成 小明抢着说 我喜欢 3 王老师填上乘数 27 结果积就出现九个3 12345679 27 333333333小宇举手说 我喜欢 7 只见王老师填上乘数

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