《精编》不完全信息动态博弈

1、第四章不完全信息动态博弈 博弈顺序 1 自然 选择参与人的类型 并将类型告诉参与人自己 不告诉其他参与人 只将类型分布告诉其他参与人 2 参与人开始行动 参与人的行动有先有后 后行动者能观察到先行动者的行动 而不能观察到先行动者的类型 后续博弈 continuationgame 从每一个信息集开始的博弈的剩余部分 与子博弈的区别 子博弈必须开始于单结信息集 并且不能切割信息集 而后续博弈可以始于任何完全信息集 不论是否为单结 完美贝叶斯均衡要求 1 在每一个信息集上 决策者必须有一个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概率分布 信念 2 给定有关其他参与人类型的信念 参与人的策略在每一个信息集开始的后续博弈上构成贝叶斯均衡 3 在所有可能的情况下 贝叶斯法则能适用 参与人使用贝叶斯法则修正有关其他参与人类型的信念 完美贝叶斯均衡吸取了子博弈完美纳什均衡和贝叶斯均衡的精华 是贝叶斯均衡 子博弈完美均衡和贝叶斯推断的结合 子博弈完美纳什均衡 策略不仅必须是整个博弈的纳什均衡 还必须是其中每一个子博弈的纳什均衡 完美贝叶斯均衡 策略不仅必须是整个博弈的贝叶斯纳什均衡 而且还必须构成每一个后

2、续博弈的贝叶斯纳什均衡 例 在图4 1 1表示的博弈中 自然赋予参与人1两种类型 L或H 将类型告诉参与人1 但只将参与人1的类型分布告诉参与人2 参与人1有两个行动L和R 参与人2有行动A和B 参与人2能够观察到参与人1的行动 但是不知道参与人1的类型 或自然的行动 图4 1 1海萨尼转换后的情形 图4 1 2 博弈有两个纯策略纳什均衡 L A 和 R B 给定参与人1选择L 参与人2的信息集没有达到 给定参与人2选择A 参与人1的最优选择是L 因此 L A 是一个纳什均衡 因为这个博弈只有一个子博弈 从广义的角度看 即原博弈 所以 L A 和 R B 都是子博弈完美均衡 完美纳什均衡 L A 依赖于一个不可置信的威胁 当参与人1偏离L而选择其他行动时 参与人2的最优行动是选择B 所以 参与人1不应该相信参与人2会选择A L A 的剔除 假设参与人2认为参与人1选择M和R的概率分别为q和1 q 给定这个信念 参与人2选择A的预期效用是 选择B的预期效用是 这样 参与人2一定会选择B 给定参与人1知道参与人2将选择B 参与人1的最优选择是R 但给定R是参与人1的最优策略 当参与人2观察

3、到参与人1没有选择L时 他推断参与人1一定选择了R 即 因此 这个博弈的唯一完美贝叶斯均衡是 4 1 2不完全信息下的博弈与决策服务行业的市场进入模型 博弈顺序为 i 进入者决定进入 E 或不进入 O ii 在位者选择高价 H 或低价 L iii 自然选择需求 正常需求 N 的概率为0 6 萎缩需求 R 的概率为0 4 在正常需求的情况下 如果进入者选择不进入 则进入者的支付为0 在位者选择低价时的支付为40 选择高价时的支付为200 如果进入者选择进入 则当在位者选择低价时 进入者的支付为 80 在位者支付为 40 当在位者选择高价时 进入者和在位者各得支付80 在萎缩需求时 在每种情况下 在位者的支付比正常情况少了40 而进入者选择进入时 其支付比正常情况下也少了40 不完全信息下的博弈与决策 根据上面的的行动顺序 可以画出进入者的决策树 decisiontree 见图4 1 3 图4 1 3市场进入决策树 不完全信息下的博弈与决策 市场进入博弈树 4 1 4市场进入博弈树 4 2 1信号博弈的完美贝叶斯均衡 信号博弈 信号博弈中有两个参与者 具有信息优势的一个称为信号发送者 S

4、另一个称为信号接收者 R 博弈顺序为 i 自然从可行的类型集中赋予发送者类型的先验概率为 并告知接收者 而告知发送者 接收者不知道发送者的类型 ii 发送者从信号集中选择一信号m发送 iii 接收者观察到m后 从可行行动集中选择行动a iv 发送者的效用函数为 接收者的效用函数为或给出接收者的最优反应函数 两者为共同知识 后验概率表示观察到信号m 接收者相信是类型发送的概率 信号博弈的完美贝叶斯均衡 定义 i ii iii 是接收者使用贝叶斯法则从先验概率 观察到的信号和发送者的最优策略得到的 在可能的情况下 定义4 2 1信号博弈的完美贝叶斯均衡 perfectBayesianequilibrium 是策略组合和后验概率的结合 它满足 信号博弈的完美贝叶斯均衡 定义 如果不知道接收者的效用函数 但知道完全信息下接收者的最优反应函数 那么 定义4 2 1中的 i 用下面的 i 代替 i 信号博弈的完美贝叶斯均衡可以分成三类 分离均衡 混同均衡和准分离均衡 更加具体地 它们分别定义如下 分离均衡 separatingequilibrium 这种均衡中 不同类型的发送者以概率1选择不同的信

5、号 也就是说 没有两种类型选择同一信号 在分离均衡中 信号准确地表现类型 特定的类型发送特定的信号 接收者完全可以通过信号准确判断出发送者的类型 即后验概率要么为0要么为1 信号博弈的完美贝叶斯均衡 定义 混同均衡 poolingequilibrium 在这种均衡中 不同类型的发送者选择了相同的信号 换句话说 没有任何类型选择与其他类型不同的信号 这时 接收者无法从信号中得到新的信息 也就无法对先验信念进行修正 因此 后验概率等于自然赋给信号发送者类型的概率 准分离均衡 semi separatingequilibrium 一些类型的发送者随机地选择信号 另一些类型的发送者选择特定的信号 接收者得到某些信号时能够准确地判断出发送者的类型 得到另外的信号时尽管不能完全判断发送者的类型 但是能够修正自己的信念 信号博弈的完美贝叶斯均衡 直观标准的含义是 在非均衡路径中 接收者认为发送者不会选择无论接收者怎样采取行动发送者的效用总小于均衡时发送者效用的信号 直观标准如果m之后的信息集处于均衡路径之外 且m为类型的均衡劣信号 即均衡效用 则 在可能的情况下 接收者的推断 信号博弈的完美贝叶斯均

6、衡中一般存在不可置信 incredible 的均衡 为了剔除之 可以采用Kreps 1984 或Cho和Kreps 1987 的直观标准 intuitivecriterion 接收者对类型发出的信号m所采取的行动记为 以替代效用函数中的a 下同 信号博弈的完美贝叶斯均衡 啤酒和热狗 信号博弈 Cho和Kreps 1987 的 啤酒和热狗 beerandquiche 信号博弈中 博弈顺序为 iv 发送者和接收者的效用见图4 2 1 两者为共同知识 i 自然从可行的类型集中赋予发送者类型的概率为 并将告知接收者 而将告知发送者 接收者不知道发送者的类型 且 ii 发送者从信号集中选择一信号发送 iii 接收者观察到信号后 从可行行动集中选择行动 在博弈顺序中 类型代表软弱型 wimpy 代表粗暴型 surly B代表啤酒 Q代表热狗 D代表与发送者冲突 duel N代表不与发送者冲突 p 表示当接收者接收到信号后 认为发送者的类型为的概率 即 信号博弈的完美贝叶斯均衡 啤酒和热狗 信号博弈 图4 2 1 啤酒和热狗 信号博弈 信号博弈的完美贝叶斯均衡 啤酒和热狗 信号博弈 支付的定性特征是

7、 软弱型宁愿热狗 粗暴型宁愿啤酒 两种类型都不愿意与接收者冲突 而接收者宁愿与软弱型冲突 但不愿与粗暴型冲突 具体地 对两种类型的发送者来说 偏好的早餐价值 不偏好的早餐价值为0 而避免冲突价值 对接收者来说 与软弱型 粗暴型 冲突的支付为1 1 所有其他支付为0 啤酒和热狗 信号博弈 在啤酒和热狗博弈中 是发送者的一个分离策略 这里代表在发送者是软弱类型的情况下 选择热狗 如果 那么 发送者的策略和接收者的策略以及后验概率和是这个博弈的完美贝叶斯均衡 这里代表在发送者选择热狗的情况下 接收者选择冲突 也可以类似地解释 信号博弈的完美贝叶斯均衡 啤酒和热狗 信号博弈 当时 是否啤酒和热狗有其他完美贝叶斯均衡 发送者可能选择的其他策略是 和 当时 软弱的发送者选择热狗得到的最低支付超过选择啤酒时得到的最高支付 这样软弱型将不选择啤酒 发送者也许选择的其他策略为 类似地 粗暴发送者选择啤酒得到的最低支付超过选择热狗得到的最高支付d 这样粗暴型将不选择热狗 策略不能成为完美贝叶斯均衡策略 于是 当时 上面取的分离完美贝叶斯均衡是该信号博弈的唯一完美贝叶斯均衡 信号博弈的完美贝叶斯均衡 啤酒和

8、热狗 信号博弈 当时又是怎样的呢 现在 没有分离完美贝叶斯均衡 但是 有两个混同完美贝叶斯均衡 可直接证明 当时 发送者的策略 接收者的策略以及后验概率和一起构成一个混同完美贝叶斯均衡 事实上 对任何也成立 这个混同均衡可解释为 粗暴类型获得它偏好的早餐并避免冲突 因为 软弱类型宁愿隐藏自己的类型信息 而不愿有偏好的早餐 软弱型假装成粗暴型而避免冲突 获得更高利润 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 考察下面的信号博弈模型 斯彭斯 1974 在模型中 有两个参与人 一个雇主和一个雇员 记雇员为参与人1 信号发送者 雇主为参与人2 信号接收者 雇主是不知情的参与人 博弈顺序为 ii 雇员从信号集中选择一信号发送 iii 雇主观察到后 从可行行动集中选择行动 工资 雇员的效用为 雇主的效用函数为 两者为共同知识 注意到 我们有 于是 由先验概率计算出的预期生产力为 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 假设教育成本是 分离条件 sortingcondition 如果参与人1的类型是 且得到工资 其效用是 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 图4 2 2 图4 2

9、 2中给出了两类型各自的无差异曲线 类型L的无差异曲线要比类型H的无差异曲线陡 这是因为 类型L增加一个给定教育水平的成本比类型H的成本更高 因此 类型L会要求工资有一个较大幅度的上升 这样才能使它的效用保持不变 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 雇主的效用函数为只有当时 雇主才会接受雇员的条件 对任何一个教育水平而言 特别地 它为0 任何一个总会被接受 而任何一个总会被拒绝 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 分离均衡在这个均衡中 两种类型的雇员选择两种不同的教育水平 不同类型的雇员得到不同工资 低生产力类型L必然会选择 如果他投资 他的效用等于 将会比他在不投资时得到的效用低 后者至少等于L 高生产力类型选择 让我们用和来定义教育水平 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 低生产力类型在不进行教育投资并被企业识别为低生产力类型 能够要求得到工资L 与进行教育投资并被企业误认为是高生产力类型 能够得到工资 这两者之间是无差异的 虽然 高生产力类型进行超过的投资 他会被雇主识别为高生产力类型 同时 如果他不进行投资 他得到的工资至少是L 但是 他不会进行这

10、样的投资 明显地 一个分离完美贝叶斯均衡的教育水平位于区间之中 这是由于它必须满足激励相容约束和 而中的任何一个都是一个完美贝叶斯均衡的组成部分 规定 对不在中的均衡以外的教育水平而言 雇主会认为雇员不能要求得到超过L的工资 而且 很容易证明 类型L选择教育0而类型H选择教育 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 但是 当我们讨论均衡以外的推断时 一旦剔除弱劣策略 则只会有一个分离均衡存在 为了这个目的 我们注意到 对类型L而言 任何严格大于的都劣于教育水平0 类型L投资0 他得到的工资至少是L 类型L投资 他得到的利润至多是 特别地 根据直观标准 中的任何一个都应该引导出后验概率 因此 可以要求得到工资 因此 为使企业识别出自己的类型 H类型的投资不必多于 我们得到一个唯一的分离均衡 其中 高生产力类型在 最小成本分离均衡水平 进行投资 投资为 信号博弈的完美贝叶斯均衡 斯彭斯的劳动力模型 混同均衡这里还存在许多混同完美贝叶斯均衡 假定两种类型都选择教育水平 相应地 他们可以要求得到工资 为得到这样一个均衡 最好的办法是 对 你选择非均衡推断 因而 教育为的工资等于L 像过去

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