1、第四章随机变量的数字特征 数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征 分布函数能完全描述随机变量的统计特性 但求分布函数常常是困难的 且在很多实际问题中 只需知道随机变量的某些特征 而不必求分布函数 由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关的数值 故称它们为随机变量的数字特征 本章介绍常用数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数和矩 数学期望是最重要的一种 其余都可以由它来定义 引言 1 数学期望 引例 枪手进行射击 规定击中区域I内得2分 击中区域II内得1分 脱靶 击中区域III 得0分 II I III 枪手每次射击的得分X是一个随机变量 其分布律为 现射击N次 其中得0分的有次 得1分的有次 得2分的有次 于是 射击N次的总分为 从而 每次射击的平均分为 在第五章大数定律中可证明 当N无限增大时 频率接近于概率 故当N很大时 这表明 随着试验次数增大 随机变量X的观察值的算术平均接近于 称后者为随机变量X的数学期望 均值 定义1随机变量X的数学期望记为E X 定义为 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛 分别为离散型随机变量X的分
2、布律或连续型随机变量X的概率密度 1 一 概念 试评定甲乙成绩的优劣 解 这是离散型随机变量 由数学期望定义得 由知 甲的成绩远胜过乙的成绩 例1 甲乙两人进行射击所得分数分别为X1 X2 其分布律分别为 求E X 解 这是连续型随机变量 由数学期望定义得 分段函数的积分 例2 设在某一规定时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间X 分钟 是一个随机变量 其概率密度为 定理1设Y g X 是随机变量X的连续函数 则Y也是随机变量 且其数学期望为 2 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理 二 随机变量函数的数学期望 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛 分别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X的概率密度 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛 分别为离散型随机变量 X Y 的分布律和连续型随机变量 X Y 的概率密度 定理2Z g X Y 是随机变量 X Y 的连续函数 则Z也是随机变量 且其数学期望为 3 其中k m为自然数 可见 方差是二阶中心矩 协方差是二阶混合中心矩 它们都是随机变量函数的数学期望 X与Y的协方差 4 例3 解 设X为随机取一球的标号 则r v X等可能地取值1
3、 2 3 4 5 6 又Y g X 且 g 1 g 2 g 3 1 g 4 g 5 2 g 6 5 故随机摸一球得分的期望为 例4 一工厂生产的某种设备的寿命X 以年计 服从指数分布 其概率密度为 解 这是求连续型随机变量函数的数学期望 工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换 若工厂售出一台设备赢利100元 调换一台设备厂方需花费300元 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望 设售出一台设备的净赢利为 故售出一台设备的净赢利的数学期望为 D 解 这是二维连续型随机变量函数的数学期望 联合概率密度函数非零区域为 故由定理2得 例5 例5 续 在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时 需要计算广义二重积分 当概率密度在有界区域D上非零时 实际上是计算普通二重积分 三 数学期望的性质 数学期望具有如下性质 设X Y为随机变量 c为常数 则 E c c E cX cE X E X Y E X E Y 当X Y相互独立时 E XY E X E Y 证 由随机变量及其函数的数学期望知 此时 为退化分布 P X C 1 故由定义得 E c E X cP X c c 由定义得 现就连续型证下面两条
4、 设二维随机变量 X Y 的概率密度 边缘概率密度分别为 由随机变量函数的期望得 由X Y相互独立得 利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推出其它数字特征的一些性质 解 方法1 表格法 由X的分布列得 例6 已知随机变量X的分布列为 求X X2 3X2 5的数学期望 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 于是 E X2 0 0 3 4 0 7 2 8 E 3X2 5 5 0 3 17 0 7 13 4 方法2 定义 性质法 因为 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 所以 E 3X2 5 3E X2 5 3 2 8 5 13 4 例6 续 E X2 0 0 3 4 0 7 2 8 E 3X2 5 5 0 3 17 0 7 13 4 方法2 定义 性质法 因为 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 所以 E 3X2 5 3E X2 5 3 2 8 5 13 4 例6 续 一 概念 定义2随机变量X的方差记为D X 或Va
5、r X 定义为 其中数学期望存在 4 在应用上还用到与X具有相同量纲的量 称之为随机变量X的均方差 标准差 方差D X 是反映X取值分散程度的量 当X取值比较集中时 方差较小 当X取值比较分散时 方差较大 由数学期望性质与方差定义可得 6 这也是计算方差的常用公式 显然 方差D X 就是随机变量X的函数 的数学期望 因此 当X的分布律或概率密度已知时 有 5 例8 P 122 eg3 解 例8 设X服从参数为p的几何分布 其分布律为 又 求其期望与方差 故 例9 例9 设随机变量X的概率密度为 解 期望为 求其期望与方差 二 性质 方差具有如下性质 设X Y为随机变量 c为常数 则 D c 0 D cX c2D X D X c D X 当X Y相互独立时 D X Y D X D Y 证 只证4 D aX b a2D X D X 0的充要条件P X C 1 其中C E X 由于X Y相互独立 故可以证明X E X Y E Y 也相互独立 于是 由数学期望的性质得 从而 有 例10 设X1 X2 Xn相互独立 且服从同一个 0 1 分布 其分布律为 解 X的所有可能取的值为0 1 2 n
6、证明并求E X D X 事件 X k 是个互斥基本事件的和事件 且其中每个基本事件为 从n个格子中取出k个放入1 其余放入0 由独立性易知 每个基本事件的概率为 故 从而 因为 0 1分布 所以 由期望与方差性质得 契比雪夫不等式给出了在未知X分布的情况下 估计事件 X 概率的方法 在上式中分别取 3 4 得 由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一形式 3 常见重要分布的期望与方差 一 二项分布 设X服从参数为n p的二项分布B n p 则其分布律为 在 2例10中已经求得 设X服从参数为 的二项分布P 则其分布律为 二 泊松分布 由幂级数展开式与期望 方差定义得 故 设X服从参数为 2的正态分布N 2 则其概率密度为 其中 数学期望为 奇函数在对称区间上的积分为零 换元 标准正态概率密度性质 三 正态分布 设X在区间 a b 上服从均匀分布 其概率密度为 则X的数学期望为 故X的方差为 四 均匀分布 五 指数分布 计算过程自学 4 协方差与相关系数 一 概念 定义3随机变量X与Y的协方差记为Cov X Y 定义为 其中数学期望存在 而 称为随机变量X与Y的相关系数 相关系数是一个
7、无量纲的量 对于任意随机变量X与Y 总有 由协方差定义得 这是计算协方差的常用公式 二 性质 协方差具有下列性质 相关系数具有下列性质 对称性 Cov X Y Cov Y X 线性性 Cov aX Y aCov X Y a为常数 Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z XY 1 若Y aX b a b为常数 且a 0 则 X与Y正相关 X与Y负相关 XY 1的充要条件是存在常数a b 使 P Y aX b 1 相关系数 XY是一个反映X和Y之间线性关系紧密程度的量 当 XY较大时 表明X与Y线性相关程度较好 特别当 XY 1时 X与Y之间以概率1存在线性关系 当 XY较小时 表明X与Y线性相关程度较差 定义4若相关系数 XY 0 则称随机变量X与Y不相关 当X与Y相互独立时 由数学期望性质与协方差定义得 故X与Y不相关 一般 X与Y独立X与Y不相关 例1 设 X Y 的概率密度为 解 1 求边缘概率密度 判定 立性 试证X与Y不相关 但X与Y不相互独立 例1 利用对称性得 2 求协方差与相关系数 奇函数在对称区间上积分为零 由于 所以 X与Y不独立 利用对称性得 于是 X与Y的协方差为 例2 设 X Y 服从二维正态分布 求X与Y的相关系数 解 因为X与Y的联合概率密度为 X与Y的边缘概率密度为 于是 X与Y的协方差 对上述广义二重积分换元 即 面积元素为 显然 独立一定不相关 但不相关却不一定独立 特别值得注意的是 若 X Y 服从二维正态分布 则独立与不相关是等价的 所以 X与Y的相关系数为 最后 请注意正态分布的一些重要结论
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