高中数学苏教版必修5学案：2.3.1　等比数列的概念-2.3.2　等比数列的通项公式（一）

1、2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式(一)学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程.知识点一等比数列的概念1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).2.递推关系在数列an中，若q(nN*)，q为非0常数，则数列an是等比数列.思考1下列数列一定是等比数列的是 .(1)1,3,32,33，3n1，；(2)1,1,2,4,8，；(3)a1，a2，a3，an，.答案(1)解析(1)记数列为an，显然a11，a23，an3n1，.因为3(n1，nN*)，所以此数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为an，显然a11，a21，a32，.因为12，所以此数列不是等比数列.(3)当a0时，数列为0,0,0，是常数列，不是等比数列；当a0时，数列为a1，a2，a3，a4，an，显然此数列为等比数列，且公比为a.只有(1)一定是等比数列.思考2若数列an满足an12an(nN*)，

2、那么an是等比数列吗？答案不一定.当a10时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故an不一定为等比数列.知识点二等比中项的概念如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G.知识点三等比数列的通项公式已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，该等比数列的通项公式为ana1qn1.思考1已知等比数列an中，a11，a39，则a2 .答案3解析a3a1q2，9q2，q3，a2a1q3.思考2除了采用不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式.答案还可以用累乘法.当n2时，q，q，q，上述各式相乘得qn1，qn1，ana1qn1(n2)，又当n1时，a1a1q11，符合上式，当n2时，a2a1q21，符合上式，ana1qn1(nN*).题型一等比数列的通项公式及应用例1在等比数列an中，(1)已知an128，a14，q2，求n；(2)已知an625，n4，q5，求a1；(3)已知a12，a38，求公比q和通项公式.解(1)ana1qn1，42n1128，2n132，n15，n6.(2)a15，故a15.(3)a3a1q2，即82q2，q24，q2.当q2时，an

3、a1qn122n12n，当q2时， ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比为2或2，对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n.反思与感悟a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.跟踪训练1在等比数列an中，(1)已知a32，a58，求a7；(2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an.解(1)a3a1q22，a5a1q48，q24，a1，a7a1q6(q2)34332.(2)a3a1a1(q21)5，a5a1a1(q41)15，q213，q24，a11，a11，q2，ana1qn1(2)n1.题型二等比数列的判定与证明例2已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列.证明由题意知f(an)42(n1)2n2logman，anm2n2，m2，m0且m1，m2为非零常数，数列an是等比数列.反思与感悟判断一个数列是不是等比数列的常用方法(1)定义法：q(q为常数且不为零)an

4、为等比数列.(2)等比中项法：aanan2(nN*且an0)an为等比数列.(3)通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等比数列.跟踪训练2已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解(1)由题意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1) .因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.题型三构造等比数列求数列的通项公式例3已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，由a1a11知，a1，a1110，an1是等比数列.又cnan1，首项c1，公比q，cn是以为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1，代入上式也符合，bnn.反思与感悟(1)已

5、知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.(2)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)，可得，这样就构造了等比数列an.跟踪训练3数列an满足a12，an1a6an6(nN*)，设cnlog5(an3).(1)求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明由an1a6an6，得an13(an3)2.log5(an13)log5(an3)22log5(an3)，即cn12cn，又c1log5510，2，cn是等比数列.(2)解由(1)知，数列cn是以1为首项，以2为公比的等比数列，cn2n1，即log5(an3)2n1，an3.故an3.忽略等比数列中的项的符号致误例4已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，求的值.错解1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列.b(1)(4)4，b22，当b22时，；当b22时，.错因分析注意b2的符号已经确定(与1同号)，忽略这一隐含条件，就易产生上述错误

6、.正解1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1，1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)(4)4，b22.若设公比为q，则b2(1)q2，b20，b22，.误区警示等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意符号的正负问题.1.在等比数列an中，a2 0158a2 012，则公比q的值为 .答案2解析a2 0158a2 012a2 012q3，q38，q2.2.2和2的等比中项是 .答案1解析(2)(2)1(1)2，等比中项为1.3.若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为 .答案4解析设项数为n，则()n1，n4.4.若数列an是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有 .a；a2n；lg an；|an|；can(c为常数且不等于0)；ank(k0).答案5.已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？解不是等比数列.a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.2.判断一个数列是不是等比数列的常用方法：(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.3.等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.4.等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.

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