1、2024-2025学年河南省新未来高一下学期4月质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=2i，则z2=()A. 34iB. 3+4iC. 3+4iD. 34i2.下列说法正确的是()A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥3.已知平面向量a=(,2)，b=(1,+1)，若ab，则=()A. 1B. 2C. 23D. 234.用斜二测画法画水平放置的ABC，其直观图ABC如图所示，其中BO=CO=1，若原ABC的周长为6，则AO=()A. 3B. 2C. 32D. 225.已知向量a=(1,1)，b=(2,1)，则a在b上的投影向量为()A. (45,25)B. (25,15)C. (23,13)D. (35,65)6.为了测量河对岸一古树高度AB(如图)，某同学选取与树底B在同一水平面内的两个观测
2、点C与D，测得BCD=15，BDC=30，并在点C处测得树顶A的仰角为60，若树高AB约为48 3米，则CD=()A. 100.8米B. 33.6米C. 48 3米D. 48 2米7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 3，BC=2 2，点P是边BC上的动点，则AP(AB+AC)的值为()A. 2B. 3C. 4D. 928.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+bc，则cb的取值范围为()A. (1,3)B. (2,3)C. (1,2)D. (2,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,3)，b=(1,5)，则下列说法正确的是()A. a/bB. (b+a)aC. |2a+b|=|b|D. a与b的夹角的余弦值为 2210.已知z1，z2为复数，则下列结论一定正确的是()A. z1z2=z1z2B. |z1z2|=|z1|z2|C. 若|z1+z2|=|z1z2|，则z1z2=0D. 若|z1|=|z2|，则z12=z2211.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c
3、，且A=3，a= 3.则下列结论正确的是()A. bcosC+ccosB= 3B. ABC周长的最大值为2 3C. ACAB的最大值为32D. cosBcosC的取值范围为(, 32)( 3,+)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=3+i13i的共轭复数z=13.在ABC中，A=3，AC=2，设BC边长为x，若满足条件的ABC有且只有两个，则x的取值范围是14.已知等边三角形ABC的外接圆的周长为2，点M是ABC外接圆上的一动点，则AMMB的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a为实数，复数z1=a2i，z2=a+3i，|z2|= 2|z1|，复数z2在复平面内所对应的点位于第一象限(1)求a的值;(2)在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，其中O是原点，求AOB的大小16.(本小题15分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2cb)cosA=acosB.(1)求角A;(2)若ABC的面积为3 32，sinB=32sinC，求a17.(本小题15分)已
4、知|a|=2，|b|= 2，|a+b|=|a2b|.(1)求|a+2b|;(2)若2ab与a+2b的夹角为锐角，求实数的取值范围18.(本小题17分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足BM=kBC，CN=kCD，其中k(0,1)(1)当DAB=90，k=13时，求向量AM和AN的夹角的余弦值;(2)当DAB=60时，求AMAN的取值范围19.(本小题17分)在ABC中，点D是边AC上一点(1)若ABD=CBD，求证：ABCD=BCAD;(2)若ABD=CBD=3，BD=4，求ABC面积的最小值;(3)若BDBC，CD=3DA，ABD=BCD，且ABC的面积为12，求AB的值参考答案1.A2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.BCD10.AB11.AC12.i13. 3,214.32,1215.(1)由|z2|= 2|z1|，有 a2+9= 2 a2+4，可得a=1，又由z2在复平面内所对应的点位于第一象限，有a0，故有a=1;(2)依题意，向量OA=(1,2)，OB=(1,3)，于是有OAOB=5，|OA|= 12
5、+22= 5，|OB|= 12+32= 10，AOB为OA与OB的夹角，cosAOB=OAOB|OA|OB|=5 5 10= 22，AOB0,，AOB=3416.解：(1)因为(2cb)cosA=acosB，由正弦定理得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB，则sin(A+B)=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA.在ABC中，由sinC0，故cosA=12因为A(0,)，所以A=3;(2)因为ABC的面积为3 32，所以12bcsinA=3 32= 34bc，得bc=6又由sinB=32sinC，有b=32c，有32c2=6，可得c=2，b=3，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，则a2=22+3222312，可得a= 717.解：(1)因为|a+b|=|a2b|，所以(a+b)2=(a2b)2，即2ab=b2，因为|b|= 2，所以ab=1，所以|a+2b|= (a+2b)2= 4+14+8=4;(2)因为2ab与a+2b的夹角为锐角，所以(2ab)(a+2b)0，即2a2+(4)ab2b20，即8+440，解得125，又2ab与a+2b不同向
6、，所以4，所以的取值范围为(,4)(4,125).18.(1)当k=13时，AM=AB+13BC=AB+13AD，同理AN=AD+23AB，而DAB=90，故ADAB=0，故ANAM=(AD+23AB)(AB+13AD)=13AD 2+23AB2=13+234=93=3，而|AM|= (AB+13AD)2= 4+19= 373，|AN|= (AD+23AB)2= 1+169=53，故cos=353 373=27 37185;(2)AM=AB+kBC=AB+kAD，AN=AD+(1k)AB，故ANAM=AD+(1k)AB(AB+kAD) =kAD2+(1k)AB2+(1+kk2)ADAB =k+4(1k)+(1+kk2)1212=k22k+5=(k+1)2+6，因为0k1，故2ANAM0)，BC=n(n0)，因为SABC=SABD+SDBC，所以12BABCsinABC=12BABDsinABD+12BCBDsinCBD，即12mnsin23=12m4sin3+12n4sin3，所以mn=4m+4n2 4m4n=8 mn，所以mn64当且仅当m=n，即m=8，n=8时等号成立，所以ABC的面积SABC=12BABCsinABC= 34mn16 3，即ABC面积的最小值为16 3;(3)设DA=x(x0)，ABD=(02)，则CD=3x，BCD=，BAD=22在ABD中，由正弦定理ADsinABD=BDsinBAD，得xsin=BDsin(22)，所以BD=xsin(22)sin在BCD中，sinBCD=BDDC，即sin=BD3x，所以BD=3xsin，所以3xsin=xsin(22)sin，所以3sin2=sin(22)=cos2=cos2sin2，所以4sin2=cos2，又sin2+cos2=1，0BD，所以AB=2 5第8页，共8页
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