苏科版初中数学七年级下册第7章《幂的运算》知识拓展与归纳

1、苏科版初中数学七年级下册第7章幂的运算知识拓展与归纳01棋盘上的麦粒在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍请您这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为第 第 第 第 第 1 2 3 4 64 格 格 格 格 格 20212223 263264118446744073709551615（粒） 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！ 与这十分相似的，还有印度的另一个古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片

2、：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽 不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次全部次数为：18446744073709551615次，这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的！假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢？一年大约有31556926 s，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年！02数学家诺伯特维纳的年龄之谜诺伯特维纳是20世纪最伟大的数学家之一，是信息论的先驱者和控制论的奠基人维纳从小智力超常，3岁就能读写，14岁大学毕业几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄维纳不愧为数学“神童”，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立

3、方是个4位数，岁数的4次方是个6位数，并且这两个数正好包括了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，既不重复也不遗漏这意味着全体数字都向我俯首称臣，预示我将来在数学领域一定会干出一番惊天动地的事业”维纳的回答妙趣横生，豪情满怀大家被他精妙的回答深深地吸引住了，整个会场上的人，都在纷纷议论他的年龄问题其实，这道题并不难解因为22310648，是个5位数，而他“岁数的立方是个4位数”，所以，他的年龄一定小于22岁；又因为17483521，是个5位数，而他“岁数的4次方是个6位数”，所以，他的年龄一定大于17岁于是，他的年龄只能是18、19、20、21岁但是，由于2038000，194130321，214184481，这3个数都有重复数字，不符合“这两个数正好包括了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，既不重复也不遗漏”的条件，所以，维纳的年龄只能是18岁验算一下：1835832，1841049765832和104976这两个数中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9所有10个数字果然全部出现，并且不重不漏对于18这个数的上述特性，究竟是维纳的经验积累，还是他

4、的灵感使然，我们无从得知但是，不论是经验积累也好，灵感使然也罢，根本原因都在于他平时的认真观察和细心思索，这应该是值得我们认真学习的治学经验03乘方运算某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人，而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？只凭直觉，是很难正确判断的可靠的办法还是算一算： 第1个小时，传给2人；第2个小时，传给22人，即4人；第3个小时，传给23人，即8人；第4个小时，传给24人，即16人；第23个小时，传给223人，即8388608人；第24个小时，传给224人，即16777216人第24个小时就是最后一小时，仅仅这最后一小时内，就传给16777216人因此，一昼夜内一定能传遍一个千万人口的大城市一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜内谣言便传遍整个城市可见，这种传谣速度是惊人的决不能传谣！ 这里，我们用的是乘方运算，它是乘数相同的乘法的缩写实际工作中一些巨大的数用乘方表示很简便，如太阳的质量，以吨为单位，有

5、1，983，000，000，000，000，000，000，000，000吨1.9831027吨以后你会知道，一些微小的数也可以用乘方的形式来表示04例说幂的大小比较一、差值比较法例1比较与的大小解：因为，所以点评：此法的依据是：若，则；若，则二、商值比较法例2已知，那么P，Q的大小关系是（ ）APQBPQCPQD无法确定解：因为，所以PQ点评：此法的依据是：已知，若，则；若，则；若，则三、底数比较法例3数、的大小关系是（ ）ABCD解：因为，同理，且125243256，所以，即，故选D四、指数比较法例4若，则a，b，c的大小关系为（ ）AabcBacbCabcDbca解：因为，所以，选A点评：例3和例4都采取了逆用幂的乘方的方法，逆用公式常可以使问题得到巧妙解决，望大家引起重视五、乘方比较法例5已知：，比较a和b的大小解：因为，所以，即六、倒数比较法例6比较与的大小解：因为，因此，所以七、中间数比较法例7比较与的大小解：因为，所以05学习幂的运算性质应注意的几个问题幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据在学习中应注意以下问题1注意符号问题例1判断下列等式是否成立：（x）

6、2x2；（x3）（x）3；（xy）2（yx）2；（xy）3（yx）3；xabx（ab）；xabx（ba）解：成立以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚，所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义2注意幂的性质的混淆例如：（a5）2a7，a5a2a10产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆，只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源3注意幂的运算性质的逆用四个运算性质反过来也是成立的，有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助例2已知10m4，10n5，求103m2n的值解：103m2n（10m）3（10n）243521600例3试比较355，444，533的大小（1995年全国数学联赛）解：因为355（35）1124311，444（44）1125611，533（53）1112511，而125243256，所以5333554444注意幂的意义与幂的运算性质的混淆例如：比较（23）4与的大小错解：因为（23）4212，212

7、，所以（23）4产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要帮助学生弄清幂的意义，并与幂的性质进行比较06关于(ab)2的推广对于公式(ab)2a22abb2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广我们知道，(ab)2a22abb2 由多项式的乘法，可以得到(ab)3(ab)2(ab) (a22abb2)(ab) a32a2bab2a2b2ab2b3 a33a2b3ab2b3 从展开式，中，可以看出如下规律：项数与次数：项数比次数多1；展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数；各项中a、b指数的和都等于二项式的次数系数：首末两项的系数都是1；式中第二项的系数是式中第一、二项系数的和；式中第三项的系数是式中第二、三项系数的和上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来1(ab)11ab(ab)2121a22abb2(ab)31331a33a2b3ab2b3按上述规律，(ab)4展开式各项的系数为1、4、6、4、1再结合项数与次数的规律，可得(ab4)a44a3b6a2b24ab3b4 由多项式的

8、乘法验证，的结果是对的事实上，由可以推出(ab)5展开式各项的系数，等等当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来例如(ab)5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(ab)6的展开式上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著详解九章算法（1261年）一书时用过杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角下面看一看(ab)2项数推广的情形我们用语言表述公式(ab)2a22abb2 为：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍我们曾用多项式的乘法计算，得(abc)2a2b2c22ab2bc2ac 上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍下面，我们用多项式的乘法计算4个数和的平方 (abcd)2(ab)(cd)2(ab)22(ab)(cd)(cd)2a22abb22ac2ad2bc2bdc22cdd2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd 同样，上式用语言表述为：4个数和的平方，等于这4个数的平方和，加上这4个数中每两个数的积的2倍同学们如有兴趣，可利用公式、计算下列各题：1(a2bc)2；2(2xy3z)2；3(abcd)2；4(x2yz2w)2

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