（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第8练 函数性质在运用中的巧思妙解 理

第8练函数性质在运用中的巧思妙解题型一直接考查函数的性质例1 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的_条件破题切入点首先找出f(x)在(0，)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件答案充要解析当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的充要条件题型二函数性质与其他知识结合考查例2函数yf(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围为_破题切入点从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果答案2,3,4解析过原点作直线与函数yf(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是2,3,4题型三对函数性质的综合考查例3已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)在1，)上单调，求实数a的取值范围破题切入点(1)直接根据f(x)<0确定单调递减区间(2)g(x)在1，)上单调，则g(x)0或g(x)0在1，)上恒成立解(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，当a2时，f(x)2x，故f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)由题意得g(x)2x，函数g(x)在1，)上是单调函数若g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，设(x)2x2，(x)在1，)上单调递减，(x)max(1)0，a0.若g(x)为1，)上的单调减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，不可能实数a的取值范围为0，)总结提高(1)函数单调性的等价结论：设x1、x2a，b则(x1x2) f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上递增(x1x2)f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b上递减(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)g(x)也是增函数，f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则(3)求函数的单调性问题还可以求导(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数如f(x)，为偶函数，而为奇函数(6)求函数的单调性要注意先研究定义域1已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)a，则f(log3)_.答案解析由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)a0，解得a，所以当x0时，f(x).所以f(log32).从而f(log3)f(log32)f(log32).2定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x<1时，f(x)(x2)2；当1x<3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 013)_.答案337解析f(x6)f(x)，T6.当3x<1时，f(x)(x2)2，当1x<3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1×335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(1)f(2)f(3)2，f(1)f(2)f(2 013)3352337.3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的x2，2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是_答案(，解析设x<0，则x>0.f(x)(x)2，又f(x)是奇函数，f(x)x2.f(x)在R上为增函数，且2f(x)f(x)f(xt)2f(x)f(x)xtx在2，2上恒成立，xtx(1)xt，要使原不等式恒成立，只需(1)(2)tt即可4(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是_答案解析由题意知a>0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f(loga)，f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又f(x)在0，)上递增，|log2a|1，1log2a1，a.5函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，当x(，0)时，f(x)xf(x)<0成立，若a20.2·f(20.2)，bln 2·f(ln 2)，c(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是_答案b>a>c解析因为函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以yf(x)关于y轴对称所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，所以当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)<0，函数yxf(x)单调递减，从而当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log2，从而0<ln 2<20.2<log，所以b>a>c.6已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是_答案f(4.5)f(7)f(6.5)解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x2对称的函数所以f(4.5)f(4)f()，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(4)f()又f(x)在0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)7已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log8(x1)，则f(2 013)f(2 014)的值为_答案解析当x0时，有f(x2)f(x)，故f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)由函数f(x)在R上为偶函数，可得f(2 013)f(2 013)，故f(2 013)f(4×5031)f(1)，f(2 014)f(4×5032)f(2)而f(1)log8(11)log82，f(2)f(02)f(0)log810.所以f(2 013)f(2 014).8对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当0<x2时，h(x)log2x是增函数；当x>2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.9(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时，f(x)x24x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，当x<0时，f(x)f(x)x24x，因此f(x)不等式f(x)>x等价于或，解得：x>5或5<x<0.10已知函数yf(x)，xR，有下列4个命题：若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称其中正确命题的序号为_答案解析1，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，令tx2，则问题等价于yf(t)与yf(t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t0对称，即函数yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x20即x2对称，故正确；由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数yf(x)的图象关于直线x4k(kZ)对称，不能推得函数yf(x)的图象关于直线x2对称，故错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确11设函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)<3.(1)证明方法一设x1<x2，xx2x1>0，f(x)>1，f(x2)f(x1x)f(x1)f(x)1>f(x1)，f(x)是R上的增函数方法二f(00)f(0)f(0)1，f(0)1，f(0)f(xx)f(x)f(x)11，f(x)2f(x)设x1<x2，x2x1>0，f(x2x1)f(x2)f(x1)1f(x2)2f(x1)1f(x2)f(x1)1>1，f(x2)f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，f(x)是R上的增函数(2)解f(4)f(2)f(2)15，f(2)