（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第17练 导数的综合应用 理

第17练导数的综合应用题型一利用导数研究函数图象例1下面四个图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函数yf(x)的图象，则f(1)_.破题切入点先求出函数f(x)的导函数，确定导函数图象，从而求出a的值然后代入1求得函数值答案或解析f(x)x22axa21，f(x)的图象开口向上，则排除若图象不过原点，则f(x)的图象为，此时a0，f(1)；若图象过原点，则f(x)的图象为，此时a210，又对称轴xa>0，a1，f(1).题型二利用导数研究函数的零点或方程的根例2设函数f(x)x3ax2ax，g(x)2x24xc.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a1，当x3,4时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围破题切入点(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数(2)结合两个函数的图象求解解(1)f(x)x3ax2axx(x2axa)，令f(x)0，得x0或x2axa0.(*)显然方程(*)的根的判别式(a)24××(a)a2aa(a)当a<或a>0时，>0，方程(*)有两个非零实根，此时函数f(x)有3个零点；当a时，0，方程(*)有两个相等的非零实根，此时函数f(x)有2个零点；当a0时，0，方程(*)有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当<a<0时，<0，方程(*)没有实根，此时函数f(x)有1个零点综上所述：当a<或a>0时，函数f(x)有3个零点；当a时，函数f(x)有2个零点；当<a0时，函数f(x)只有1个零点(2)设f(x)g(x)，则x3ax2ax2x24xc，因为a1，所以cx3x23x.设F(x)x3x23x，x3,4，则F(x)x22x3，令F(x)0，解得x11，x23.当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1，3)3(3，4)4F(x)00F(x)99由此可知F(x)在3，1，3,4上是增函数，在1,3上是减函数当x1时，F(x)取得极大值F(1)；当x3时，F(x)取得极小值F(3)9，而F(3)9，F(4).如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与yc的图象有两个公共点，所以<c<或c9.题型三导数在实际问题中的应用例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.破题切入点考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0<r2.所以建造费用y2rl×34r2c2r×(r)×34r2c，因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0<r2.由于c>3，所以c2>0.当r30时，r .令 m，则m>0，所以y(rm)(r2rmm2)当0<m<2，即c>时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y<0；当r(m,2)时，y>0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3<c时，当r(0,2)时，y<0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3<c时，建造费用最小时r2；当c>时，建造费用最小时r .总结提高(1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题，一般都是先求导得出函数的单调性与极值，然后再画出函数的大致图象(2)利用导数解决实际问题要注意：函数的定义域；极值和最值的区别；最后还原到实际问题中作答1已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0，现给出如下结论：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是_答案解析f(x)x36x29xabc，a<b<c，f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)，函数f(x)和导函数f(x)的大致图象如图所示：由图得f(1)169abc4abc>0，f(3)275427abcabc<0，且f(0)abcf(3)<0，所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.2.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_答案解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除；从适合f(x)0的点可以排除.3已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为_答案0解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)<0，故函数f(x)在，1)上单调递减；当x(1,2时，f(x)>0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.4函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex1的解集为_答案(0，)解析构造函数g(x)ex·f(x)ex，因为g(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)ex>exex0，所以g(x)ex·f(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0·f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.5关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x<0或x>2时，f(x)>0；当0<x<2时，f(x)<0.所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(0)a，当x2时，f(x)取得极小值，即f(2)4a.所以解得4<a<0.6已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x1045f(x)1221函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1<a<2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数是_答案1解析首先排除，不能确定周期性；f(x)在0,2上时，f(x)<0，故正确；当x1，t时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0t5，所以排除；不能确定在x2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故错误7已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可8某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，解得x40或x1(舍)当x>40时，y>0，当0<x<40时，y<0，所以当x40时，y最小9把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0<x<6)，V(x2)(x6)当x2时，V最大此时底面周长为6x4,4221.10(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大11(2013·江苏)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)<a(x3x0)成立试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论(1)证明因为对任意xR，都有f(x)exe(