分歧理论及其应用
6页1、现代电路理论-分歧理论及其应用班级: 姓名: 学号: 1分歧理论及其应用分歧理论及其应用引言引言:近二、三十年来,分歧现象(bifurcation phenomena) 及理论 (bifurcation theory)在数学及自然科学上受到格外的重视及研究。随着科学技 术的迅速发展,非线性问题大量出现于自然科学、工程技术乃至社会科学的许 多领域,成为当前科学研究的热点。分歧现象是普遍存在的,是非线性系统的 重要特点之一,它普遍地存在于数学、物理学、化学、经济学、社会学、生态 学等各个领域,像数学中的解不唯一、物理学中的相变、工程中的静力与动力 失稳、经济学中的马太效应、电子学中的周期振荡等等,都可以从分歧的角度 去研究1。1. 分歧理论概述分歧理论概述分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支,它反 映的是流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异,不论在数学理论上还是 在现实应用中都具有极为重要的意义。近半个世纪以来,分歧理论的研究一直 受到人们的广泛关注,也得到了很大的发展。国际电力界从 20 世纪 80 年代开 始研究和应用分歧理论,在电压稳定、轴系扭振以及低频振荡
2、的研究中均取得 了新的突破。在上个世纪七十年代初,Crandall 和 Rabinowitz 的两个基本分歧定 理是由隐函数定理证明的,至今在数学,生物,工程上广为应用2。 分歧的含义是:对于含参数的系统,当参数发生变动并经过某些临界值时, 系统的定性性态(即其拓扑结构,例如平衡状态、解的数目、周期运动的数目 以及稳定性等)发生突然变化的现象。从数学角度而言,分歧理论主要是研究 非线性代数方程(微分方程、积分方程、差分方程等)中参数对解的定性性质 的影响,其中参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究 重点。2. 分歧的定义分歧的定义首先我们来看看一个经常可见到的现象。拿一根细长的金属棒。在棒的两 头向内稍稍用力,此时棒不会弯曲。当力量够大时,则棒会弯起来。再继续加 大压力,棒可能会弯了两弯。其变化如下图:2在此实验中,我们可用两个量来描述。一为压力 ,另一为角度 ,此角 度是量金属棒在左端与水平方向所张开的角度。若以 为横轴 为纵轴,画 一幅分枝图(bifurcation diagram), 则上述现象可清楚在图 1 表现出:图 1 分歧图 上述现象我们初步理解了分歧的
3、概念,下面我们来看分歧理论的具有普遍 意义的定义3。 在数学上,用算子方程 (,)= 0 (1) 的解来描写系统的平衡态,其中 是参数,而 x 则属于某向量空间。用表示固定 时满足(1)的 x 的集合即解集,所谓是一个分歧点,是指对于的一00个邻域 V,存在 x的一个邻域 U,以及、V,使得 与不121 2 是同胚的。分歧理论与分歧理论不是同胚的。然而,通常流行的说法则是下列比 较直接的描述:设 x= 总满足(1),即。一点称为分歧点,是指在(,)= 0(,)它的任意邻域内都含有(1)的非 解4。3. 分歧的分类分歧的分类在非线性电路中的分歧问题可以分为静态分歧、动态分歧,也可以按局部 分歧和全局分歧分类。静态分歧时指系统的平衡点数目和稳定性的变化,动态 分歧是指在相平面上的轨道定性性质的变化。局部分歧是讨论平衡点或轨道附3近相图的拓扑结构的变化。而全局分歧是研究大范围内拓扑结构的变化5。 静态分歧有可以分为平衡点的鞍结分歧、跨临界分歧、叉式分歧等等。动 态分歧可以分为霍普夫分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。4. 分歧理论的应用分歧理论的应用分歧理论是近半个世纪以来逐步形成
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