高二导数讲义

1、优质文档 导数【学问归纳】1、导数的概念函数y=f(x),假如自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=fx+fx，比值叫做函数y=fx在x到x+之间的平均变更率，即=。假如当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做fx在点x处的导数，记作fx或y|。即fx=。说明：1函数fx在点x处可导，是指时，有极限。假如不存在极限，就说函数在点x处不行导，或说无导数。2是自变量x在x处的变更量，时，而是函数值的变更量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=fx在点x处的导数的步骤：1求函数的增量=fx+fx；2求平均变更率=；3取极限，得导数f(x)=。2、导数的几何意义函数y=fx在点x处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率。也就是说，曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率是fx。相应地，切线方程为yy=f/xxx。3、几种常见函数的导数: ; ; ; .4、两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,加上第

2、一个函数乘以其次个函数的导数，即：假设C为常数,.即常数和函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数和分母的积，减去分母的导数和分子的积再除以分母的平方：=v0。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法那么：y|= y| u|5、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，假如，那么为增函数；假如，那么为减函数；假如在某区间内恒有，那么为常数；6、极点和极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值和最小值。求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a)、(b)；将函数 的各极值和(a)、(b)比拟，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间假设单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开，极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进展解决：第一步：令得到两个根；其次步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒

3、成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元即关于某字母的一次函数-题型特征确定谁的范围就把谁作为主元；其次种：分别变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值-题型特征恒成立恒成立；2、确定函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数和x轴即方程根的个数问题；1确定函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分别变量时要特殊留意是否需分类探讨看是否在0的同侧，假如是同侧那么不必分类探讨；假设在0的两侧，那么必需分类探讨，要留意两边同处以一个负数时不等号的方向要变更呀！有时分别变量解不出来，那么必需用另外的方法；其次种：利用子区间即子集思想；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值和0的关系和对称轴相对区间的位置；特殊说明：做题时必须要看清晰“在a,b上是减函数”和“函数的单调减区间是a,b”，要弄清晰两句话的区分；2函数和x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线

4、图”即解导数不等式和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；其次步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组；主要看极大值和微小值和0的关系；第三步：解不等式组即可；3、函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；其次步：写切线一般用点斜式；第三步：依据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判定三次方程根的个数； 经典题型分类解析【导数定义的应用】例1、求抛物线 上的点到直线的最短距离. 1、福建确定对随意实数，有，且时，那么时 ABCD2、确定P1，1，Q2，4是曲线上的两点，那么和直线平行的曲线的切线方程是 _. 3、确定函数处取得极值，并且它的图象和直线在点1，0处相切，那么函数的表达式为 _ _m2.【利用导数探究函数的图像】例1、安徽高考设b,函数的图像可能是 1、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是 。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图4【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1、当 ，证明不等式.例2、全国高考确定函数，探讨函数的单调

5、区间；设函数在区间内是减函数，求的取值范围【变式1】 全国高考假设函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围【变式2】 浙江高考确定函数 假设函数在区间上不单调，求的取值范围练习1、利用函数的单调性，证明：变式1：证明：，变式2：理科设函数f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.假设关于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.2、确定函数，是的一个极值点求的单调递增区间；假设当时，恒成立，求的取值范围3、设函数,假设当时，取得极值，求的值，并探讨的单调性.4、设，令，探讨在内的单调性并求极值；求证：当时，恒有5、设。（1） 求在上的值域；2假设对于随意，总存在,使得成立,求的取值范围。【利用导数的几何意义探究曲线的切线问题】例1、江西高考假设存在过点的直线和曲线和都相切，那么等于 A或 B或 C或 D或【变式】 辽宁高考设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，那么点横坐标的取值范围为 ABC D综合实战训练1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，那么导函数y=f (x)的图象可能为() 2.

6、 确定曲线S:y=3xx3及点,那么过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.4. 函数在下面哪个区间内是增函数 . 5. y=2x33x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A)6 (B)0 (C)5(D)16. 函数f(x)x33x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，197.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，那么l1和l2的夹角为_. 8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx1，假设当x=1时，有极值为1，那么函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 . 9湖北确定函数的图象在点处的切线方程是，那么 10湖南函数在区间上的最小值是 11浙江曲线在点处的切线方程是 9. 确定函数假设函数图像上随意一点处的切线的斜率小于1，求证：；假设，函数图像上随意一点处的切线的斜率为，试探讨的充要条件。12(安徽)设函数fx=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，将f(x)的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()诗论g(t)在区间-1,1内的单调性并求极值.实战训练B1海南曲线在点处的切线和坐标轴所围三角形的面积为 2海南曲线在点处的切线和坐标轴所围三角形的面积为 3江苏确定二次函数的导数为，对于随意实数都有，那么的最小值为 A B C D4江西5假设，那么以下命题中正确的选项是ABCD5江西假设，那么以下命题正确的选项是 ABCD6辽宁确定和是定义在上的连续函数，假如和仅当时的函数值为0，且，那么以下情形不行能出现的是 A0是的极大值，也是的极大值B0是的微小值，也是的微小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的微小值，但不是的极值7全国一曲线在点处的切线和坐标轴围成的三角形面积为 ABCD8全国二确定曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为 A1B2C3D410福建设函数求的最小值；假设对恒成立，求实数的取值范围15(07广东)确定是实数，函数假如函数在区间上有零点，求的取值范围优质文档

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