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二次极限与二重极限

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重极限和二次极限设一匚nJ.V.-,当:时r-的极限是丁：同时趋向于；:时所得到的此外，我们还要讨论心先后相继地趋于以:时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限.若对任一固定的I；,当.；时,的极限存在而二二在；-时的极限也存在并等于A，亦即i-|-|；j二，那末称A为I二先对.一、后对卜的二次极限，记为limlim宀3k*同样可定义先对、后对I的二次极限我们必须注意有以下几种情形：(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在例如y)=-+ysxa.-yx由于f1-和i在I和；=，的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，故lim_/（兀刃=0eQJ-3-0(2)两个二次极限存在而不相等例如卿/（兀丁）=y11=邸0）故7-0ar-sO同理两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。例如当:-：_T时，二重极限不存在，但两个二次极限都为零.由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系.但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在又，若两个二次极限存在并且相等，即若lunlun/（兀丿）=limlim/（）r-j-iXT注我们说二次极限可以交换求极限的次序.还应当注意，当1时，二丁的二重极限如果是A，则意味着P以任何方式（而不仅仅是任何方向）趋于时，f二.均趋于A，假若P仅从任何方向（而不是任何方式）趋于时，都趋于数A,的二重极限仍可能不存在例如函数卩52）其它便是如此点JV.以任何方向趋于点r，,|.时，读者可以验证，；丁：均趋于零，但当点户沿曲线趋于时显然产-.:趋于1,故当时，匸J:的二重极限不存在这正如有人所说，“从一元函数转换到多元函豢时，是会岀现某些在原则上是新的东西的”其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性.

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