1、连续六次摸到白球后的思考一、案例背景 “可能性”（概率）是新课程中新增加的内容，“可能与一定”是学生学习“可能性”的第一节内容。通过教学要让学生初步了解在现实世界中，有些事件在满足相应条件后，一定会发生（或不可能发生），而有些事件则可能发生，也可能不发生。比如在一个盒子里放入两个黄球，任意摸一次，一定能摸到黄球，不可能摸到白球；如果放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，则可能摸到白球，也可能摸到黄球（即可能性）。 在多次教学实践中我感悟到，原有生活经验使学生对“可能性”有了一定的认识，但学生的生活经验反过来也会干扰对“可能性”的数学化理解。 二、情境描述 在一个不透明的盒子中，放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，结果会怎样？这是我在执教“可能与一定”一课时提出的问题。 学生的回答是：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。” 为了“确认是这样”，我请一位学生摸一次，结果摸到的是白球。接着，我又请一位学生摸一次，摸之前我请学生们猜一猜这一次会摸到什么颜色的球，大部分学生认为应该是黄球了！结果这位学生摸到的还是白球。第三次请学生摸，再猜，这时更多的学生认为一定是黄球了。但第三位学生摸到的竟然还是白球
2、！这时，教室里一片惊讶声：“怎么会这样？”“这怎么可能？” 第四位学生再摸，白球！ 第五位，还是白球！ 第六位，依然是白球！ 我的额头开始冒汗，心里也暗暗嘀咕：“怎么会这样？”一个念头禁不住从脑海中冒了出来：“这课要上砸了！” 到了第七位，那位胖胖的小男生终于“争气”地摸到了黄球。 我终于舒了一口气，提着的心总算放了下来。 教学顺利地转入了下一个环节。三、课后反思 “可能性”一课我已经上过好多次了，但这样的情形还是第一次发生。连续六次摸到白球，怎么会这样呢？课上，我茫然不知所措，课后，我们进行了反思，结果为自己额头冒汗感到羞愧，更为没有抓住教学中生成的好材料及时组织学生讨论感到汗颜。 第一次摸到了白球，第二次摸到的应该是黄球；连续两次摸到的都是白球，那么第三次摸到的就一定是黄球了。对一个三年级的小学生而言，作出这样的判断一点儿都不奇怪。在后来一次听课时，我也看到了类似的情形：这位教师组织摸球活动，也是放一个白球、一个黄球，摸之前要求先猜可能会摸到什么颜色的球，并作好记录。我正好坐在一个小男生的边上，第一次他猜摸到黄球，而摸到的也正好是黄球，他兴奋地举了举握紧的拳头。猜第二次时他毫不犹豫
3、地在白球一拦里打上了“”，我赶紧和他交流： 师：这次你怎么猜是白球了？ 生：因为刚才这次摸到的是黄球，我想这次一定会摸到白球了。 这位小男生迫不及待地进行第二次摸球，果然是白球！他又一次兴奋地举起了拳头。 那么，学生为什么会作出这样肯定的判断呢？显然，这是因为学生对随机现象发生可能性的模糊理解。对“可能摸到什么颜色的球”这个随机事件而言，学生的生活经验足够支撑他们作出这样的判断：要么摸到白球，要么摸到黄球。而且学生还会直觉地意识到：摸到两种颜色球的可能性是相等的。但可能性相等是什么意思呢？很多学生是这样理解的：如果摸两次，那么一次摸到白球，另一次摸到黄球。我想，这就是学生作出上述判断的原因所在。 那么，可能性真可以这样理解吗？回答是否定的。数学上，对上述摸球这个随机现象发生可能性的描述有两种办法，一是用数据来刻画（即概率），摸到黄球或白球的可能性各为二分之一；二是用重复摸球的统计结果来描述（即频率），摸一次，可能摸到什么球，这具有随机性（无法事先确定），但如果重复不断地摸，只要摸的次数“足够多”，就可以发现摸到统计结果呈现一定的规律性，即摸到白球和摸到黄球的次数大致相等。通过以上阐述可
4、以知道，下一次会摸到什么球，这是无法事先确定的，也就是说，每一次摸球，摸到黄球或白球的可能性都存在。但一个人在作出判断时，往往会有受到自我心理活动的影响，如当连续多次摸到白球时，就会产生下一次“应该摸到黄球了”的心理期望。 可见，第一次摸到白球，第二次应该摸到黄球，这反映了学生的生活经验和心理期望对随机现象的理解产生的干扰。从数学角度分析，连续六次摸到白球（甚至更多）是完全可能发生的，这反映了随机现象的可能发生结果的随机性。事实上，连续六次摸到白球比一次摸到白球、另一次摸到黄球更有利于学生感悟随机现象的本质。比如，听课时那个小男孩摸球活动的结果已经给他理解可能性的含义带来了负面影响。而在我的教学中，连续六次摸到白球（这是可遇而不可求的）给教学生成了精彩的、富有价值的材料，但我没有把它利用好，错过了让学生感悟随机现象本质的绝佳机会。反思后，我们认为，在七次摸球过程中应及时组织讨论和反思。如在连续三次摸到白球后，可以组织讨论：怎么会连续三次摸到白球？你有什么想法？通过讨论使学生感悟到每次摸球的结果在摸之前是无法确定的，连续多次摸到白球也是有可能发生的，前一次摸球的结果并不会对后一次产生影响
5、，从而初步感悟随机事件的发生和人的心理期望没有任何关系，进一步理解随机现象的本质。又如当第六位学生依然摸到白球时，可以再次组织讨论：真的摸不到黄球吗？从而使学生明确：盒子里有黄球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黄球的（如果摸的次数足够多，那么摸到白球和摸到黄球的次数大致相等，当然，这已是后续学习的内容了）。在第七位学生摸到黄球后，可以引导学生反思，让他们说说对“可能摸到白球，也可能摸到黄球”这句话的认识，从而使学生深刻地理解可能性的含义。我想，如果再有这样一次机会，我就能够这样处理了，可是这种情况再次发生的可能性实在是太小了，但这绝对不是不可能发生的。 上述教学同时引发了我们对教师自身数学素养思考。概率一直是高等数学领域的内容，小学教师在师范的学习中并没有这样的知识储备。“可能性”作为新课程新增加的数学内容，对大部分教师而言都是比较陌生的。以其昏昏，使人昭昭，显然要误人子弟。“可能性”有关内容，我上过许多次，也听过许多次，自己犯过不少错误，也看到不少老师犯的错误，感触颇深。新课程的实施给教师自身的数学素养提出了新的、更高的要求，需要教师加强学习，不断充电。只有这样，才能正确把握教学目标，才能合理组织教学活动，才能处惊不乱，及时抓住课堂教学中生成的精彩材料，让学生在数学活动中体验、感悟数学知识的本质，引领和发展学生的数学思维。
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