1、几何证明题解题技巧息县五中敖勇【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法:(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证
2、明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.已知:如图1所示,中,。求证:DGDF,由D是AB中点,可考虑分析:由是等腰直角三角形可知,连结CD易得,。从而不难发现证明:连结CD说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG=DE连结BG证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2.已知:如图2所示,AB=CDAD=BC,AE=CF。求证:/E=ZF证明:连结AC在和中,在和中,说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:(1) 制造的全等三角形应分别包括求证中一量;(2) 添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可
3、用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示,设BP、CQ是的内角平分线,AHAK分别为A到BP、CQ的垂线。求证:KH/BC分析:由已知,BH平分/ABC又BHLAH延长AH交BC于N,贝UBA=BNAH=HN同理,延长AK交BC于M则CA=CM,AK=KM从而由三角形的中位线定理,知KH/BG证明:延长AH交BC于N,延长AK交BC于M/BH平分/ABC又BHLAHBH=BH同理,CA=CMAK=KM是的中位线即KH/BC说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。例4.已知:如图4所示,AB=AC,。求证:FD丄ED证明一:连结AD在和中,说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。证明二:如图5所示,延长ED到M使DM=ED连结FEFMBM说明:证明两直线垂直的方法如下:(1) 首先分
4、析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证(2) 找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。(3) 证明二直线的夹角等于90。3、证明一线段和的问题(一)在较长线段上截取一线段等-较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法)例5.已知:如图6所示在中,/BAC/BCA的角平分线ADCE相交于Q求证:AC=AE+CD分析:在AC上截取AF=AE易知。由,知,得:证明:在AC上截取AF=AE(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法)例6.已知:如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,求证:EF=BE+DF分析:此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG=DF。证明:延长CB至G,使BG=DF在正方形ABCD中,即/GAE=ZFAE4、中考题:如图8所示,已知连结CEDE为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,求证:EC=ED证明:作DF/AC交BE于F是正三角形是正三角形又ABBD即EF=AC题型展示:证明几何不等式:例题:已知:如图9所示,求证:证明一:延长AC到E,使AE=AB,连结DE在和中,证明二:如图10所示,在AB上截取AF=AC,连结DF则易证说明:在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是常用辅助线。【实战模拟】1.已知:如图11所示,中,D是AB上一点,DELCD于D,交BC于E,且有。求证:2.已知:如图12所示,在中,CD是/C的平分线。求证:BC=AC+AD3.已知:如图13所示,过垂线BP和CQ设M为BC的中点。求证:MP=MQ的顶点A,在/A内任引一射线,过BC作此射线的4.中,于D,求证:【试题答案】1.证明:取CD的中点F,连结AF2.分析:本题从已知和图形上看好象比较简单,但一时又不知如何下手,那么在证明一条线段等于两条线段之和时,我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分,证明这两部分分别和两条短线段相等;“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长,证明其和等于长的线段。证明:延长CA至E,使CPCB连结ED在和中,3.证明:延长PM交CQ于R是斜边上的中线4.取BC中点E,连结AE
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