1、浅谈促进学生数学模型的建构与运用长兴县第二小学 任杰【摘 要】数学模型是利用数学语言表达的一个数学结构。小学数学教学中，教师要让学生亲历数学模型建构，并进行解释与应用。在课堂教学中要重视数学建模，在情境创设中预设“模型的启发”，在新知探索中实施“模型的建构”，在巩固练习中进行“模型的解释与应用”，从而发展学生的数学思维，提升思维品质。【关键词】小学数学 数学模型 数学思维义务教育数学课程标准(2011年版)指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”数学建模作为新课标中十大核心概念之一，它不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提升思维能力。现结合个人的教学实践谈谈思考。 一、在情境创设中预设“模型的启发”。一般在教学活动的开端，很多教师都会创设一定的情境，建模思想指导下的情境创设，要确保数学问题的探究空间，还学生探索数学问题的权利，让学生经历充分的探索过程，获取丰富、积极的体验，为模型的构建带来启发
2、。教学“异分母分数加减法”时，一位教师创设了这样的教学情境：师(出示)：0.83元-5角；1.7元+8角；师：这两道算式可以直接计算吗?该怎么办?生：算式中两个数的单位不同，不能直接计算，可以把它们统一成以“元”为单位的小数后再计算。师：在小数计算中，为什么要把小数点对齐?师出示+与这两道算式，如何计算？ (结果有的学生把它们转化成小数进行计算；有的把它们转化成同分母分数进行计算；还有的把算式看成元+元、元-元，再转化成以“分”为单位的整数加减法)在上述案例中，这位教师关注的不是计算的具体方法，而是在“计数单位相同才能直接相加减”这一数学模型启发下，各显其招，主动参与对异分母分数相加减的“再创造”活动，课堂变得异常活跃。二、在新知探索中实施“模型的建构”。数学家华罗庚在总结他的学习经历时指出，对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。因此，我们在教学时要善于引导学生对自己的学习过程、学习素材、探究发
3、现进行归纳提升，用简明的数学语言建构起数学模型。下面例举三种策略：（一）积累表象，建构模型数学模型所关注的对象是许多具有共同普遍性的一类事物。因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。三年级下册“分数的初步认识”教师通过让学生分一分、画一画、说一说等丰富的学习活动，帮助学生积累足够的表象，以实现对分数概念的初步建构。师：（出示课件）谁能帮他们把桌上的东西分一分呢？4个苹果怎么分？生：把个苹果平均分成2份，每人得2个。师：2瓶矿泉水怎么分？生：把2瓶矿泉水平均分成2份，每人得过且1瓶。师：每人分得同样多，数学上叫“平均分”。（板书：平均分）师：如果把一块蛋糕平均分成2份，每人分得多少呢？生：切成两半，一人一半。师：（出示课件）把一块蛋糕平均分成2份，每份是它的一半。这一半该用什么数来表示呢？生：二分之一。师：像二分之一这样的数就是分数。（板书：分数）我们这节课就来认识分数。（板书：认识）师：刚才我们把一块蛋糕平均分成了几份？（点击课件）生：2份。师：一半是两份中的几份？生：两份中的一份。师：“一半可以用来
4、表示。师：（指蛋糕的一半），这一份是蛋糕的，那另一份呢？生：也是它的。师：谁来说说我们怎样得到这块蛋糕的的吗？生：拿刀沿正中间切下去。生：把这块蛋糕分成两半。生：把一块蛋糕平均分成2份，每份是它的。师：（出示课件，学生齐读一遍）我们把这句话写在黑板上。（板书：把一块蛋糕“平均分”成两份，每份是它的。）师：它指的是谁？生：这块蛋糕。师：（出示课件）请同学们拿出一张长方形纸，先折一折，把它的涂上颜色。现在就请同学们动手折一折、涂一涂，开始。生：（展示涂色作品）师：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部分都是长方形的？生：把长方形纸对折，分成2份，涂色部分占一份。生：把一张长方形纸平均分成2份，每份就是它的。师：你说得真棒！不管是一块蛋糕，还是一个长方形，如果把它们平均分成2份，每份都是它的。师：你们还想认识其它的分数吗？生：（齐）想。师：好，接下来请同学拿出一张正方形纸折一折，把它平均分成4份，再把其中的一份涂上颜色。（学生动手操作，教师巡视）生：（上台展示不同的涂色作品）师：你的涂色部分是这张纸的几分之几？师：（课件出示）一张正方形的纸平均分成4份，把其中的一份涂上颜色，涂色部分是
5、这张纸的（）。师：如果我们把其中的2份、3份、4份涂上颜色，那么涂色部分分别是这张纸的几分之几？请前后桌的同学展开讨论。师：好，谁来说说。（点击课件）生：（逐题回答。）师：为什么是呢？生：把一个正方形平均分成4份，涂色部分占了4份。师：你们还能够表示出其它的分数吗？请同学们选择一个自己喜欢的图形，动手折一折，涂一涂，并说出几分之几。生：（展示作品，教师奖励智慧星）师：像、-都是分数。（板书）（二）寻找规律，建构模型 在教学“植树问题”时，我设计了如下的教学片断：师：在一条2000米长的路上每隔5米种一棵树，一共可种几棵？怎么求？生1：提出猜想，再验证。生2：难的问题解决不了，可以先举简单的例子，然后发现规律，最后再用规律解决问题。师：也就是说，当我们遇到一个不能直接解决的难题时，可以从简单的例子入手来发现规律，然后再来解决，这是学习数学的一种有效方法。师：出示刚才收集的数据(如下表)：全长（m）间隔长度（m）间隔数树的棵数1052320545551230567师：现在请你们仔细观察刚才我们填写的表格，有什么发现?生3：全长间隔长度=间隔数。生4：间隔数+1=植树棵树。师：从简单的例子当
6、中，同学们发现了：间隔数+1=棵数(板书)。在你们研究的数据当中，有间隔数+1不等于棵树的例子吗?生：没有。师：那么，在怎样的情况下才会有这样的规律呢?生：在两端都种的情况下。师：两端要种(板书)。师：如果是种50 m，两端都种，还有这样的规律吗? 100 m呢? 1 000 m呢?生纷纷回答：还是有这样的规律。师：看来，这样的规律是普遍存在于两端都种的植树问题当中的。在上述教学过程中，教师从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情景中，使学生自主完成了解题策略的构建。在这个过程中，学生发现了植树问题(两端都种)的模型，即棵树=间隔数+1。这样，不仅发展了学生的策略性知识，同时也让学生的思维经历了一波三折的过程，加深了对解题方法的理解。（三）猜测验证，建构模型猜想验证，建立模型是数学教学重要的思想方法，这在新课程标准实施的今天，显得尤为重要。小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。商的变化规律我采取“猜测验证建模”三个层面进行探究。1.建立猜想抢答： 124= （122）（42）= （122）（42
7、）= （123）（43）=质疑：除法是乘法的逆运算，那么，除法中有没有商不变的规律呢？如果有，被除数和除数应该怎么变，商才不变呢？请你大胆地猜测一下。2.验证猜想生1：被除数乘几，除数除以几，商不变。生2：在乘法中是这样，在除法中不是这样的。师：你能用算式来说明吗？生2：比如124=3，但（122）（42）的结果是12，不是3.生3：我猜被除数和除数同时乘几，商会乘两个倍数的乘积。师：你能说说为什么会得到这样的猜想吗？生:3：因为两个因数乘以相同的数，所以积会乘以两个倍数的乘积。生4：在乘法中是这样，在除法中应该是不变的。师：你能用具体的算式来说明吗？生4：比如4812=4，会有（482）（122）=4（482）（122）=4（生汇报，师板书）师：请大家口算，这两个算式是否都等于4？（生计算后是等于4）师：你们能再举例说明吗？生5：比如426=7 （423）（63）=7（423）（63）=7（生汇报，师板书,其他学生口算）生6：师：有没有不同的想法？（生沉思很久）师：老师还有几种猜想，电脑显示：（1）（483）（123）= （2）（482）（122）=（3）（482）（123）=（4）
8、（482）（123）=师：请同学们计算这两条算式得数是不是都等于4？（生计算后得数不等于4）师：屏幕上的算式与黑板上算式比较，你发现了什么？（学生先独立思考，再小组讨论汇报）生：（学生汇报，在老师的引导下得出）黑板上的算式是被除数和除数同时乘（除以）相同数，商不变。师：请你再举些符合上面规律的例子。（学生独立完成后汇报）生1：3612=3 （3610）（1210）=3 （364）（124）=3生2：168=2 （165）（85）=2 （162）（82）=2师：这样的例子举得完吗？板书：3.建立模型师：你能用一句话来说说这种被除数、除数、商的变化规律吗？（学生表达不完整时，教师启发补充）师补充：这个数可以是任何数吗？为什么？（0不能作除数）板书：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。师：如果被除数乘a,那么除数要乘几？如果被除数除a,那么除数要除几？生：如果被除数乘a,那么除数也要乘a；如果被除数除a,那么除数也要除a。师：a能不能是任何数？生：a不能是0.三、 巩固练习中进行“模型的解释与运用”（一）回归生活，拓展模型人的认识过程是由感性到理性再到感性循环往复、螺旋上升的过程。从具体的问题经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型，并不是学生认识的终结，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如教学“鸡兔同笼”问题时，初步建立起来的“鸡兔同笼”问题模型，它是通过“鸡”、“兔”来研究问题，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物列举穷尽，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境数据变化时所得模型是否稳定，教学时我出示如下问题让学生分析： 9张桌子共 26人，正在进行乒乓球单打、双打比赛，单打、双打的各几张桌子？”“甲、乙两个车间共 126人，如果从甲车间每 8人中选一名代表，从乙车间每 6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车间各有多少人？”这样，便可使模型不断得以丰富和拓展。 （二）运用模型，拓展提炼学生在教师的引导下，经过自主探究，合作交流，建构起数学的模型，这种数学模型需要在数学实践中进行解释与应用，以进一步理解模型的内涵，科学合理地运用模型解决问题，在实践运用中进一步拓展和提炼模型。教了“圆的周长与面积”后我设计了一组题组进行练习：师：出示下图，正方形的面积是6平方厘米，圆
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