【数学】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第2课时 2023-2024学年高一下人教A版（2019）必修第二册

1、8.3简单几何体的表面积和体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第2课时知识探究知识探究 思考1：我们前面已知学习过球体，它是“以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的曲面(球面)所围成的旋转体”.如果用一个平面去截一个球，截面都是圆面.其中球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆.你还记得球的截面的性质吗？(1)球的截面是一个圆面；(2)连心线(球心与小圆圆心连线)垂直截面；(3)球的半径R、截面圆半径r、连心线段d满足：思考2：球能与圆柱、圆锥、圆台一样，直接简单地展开成平面图形，然后计算其表面积吗？不能.其表面积需要用极限的思想进行推导事实上，球的表面积S 是关于半径R的一次函数S=4r球的表面积设球的半径为R，则它的表面积为大圆面积的4倍 思考3：在小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何推导的吗？(1)先将圆分成若干个相同的扇形：(2)再拼成一个近似的矩形(分成越细越大接近)：(3)最后用矩形的面积公式得出：思考4：类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式?第一步：分割 如图，将球O 的表面分成 n 个小

2、网格，连接球心 O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”.第二步：近似替代 当n 越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R 设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 第三步：由近似和求得球体积第三步：由近似和求得球体积 由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积 因此球的体积：球 的 体 积设球的半径为R，则它的体积为解：练习练习解：由S球=V球，得球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等.2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？(教材P119练习第2题)例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取3.14)例析例析解：一个浮标的表面积为 给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为 例2.如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.R设球的半径为R，则解：O

3、圆柱的底面半径也为R，高h=2R.即球与圆柱的体积之比为2:3.思考：若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么圆锥、球、圆柱的体积之比是怎样的？例3.(1)把直径为5cm 钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多大面积的纸?(2)一水晶球内嵌有一个棱长分别为 2，3，4的长方体工艺品，且此长方体的各顶点刚好全在球面上，此水晶的体积是多少(忽略中空)解：思考(1)：用纸最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体思考(2)：此时球的半径或直径与正方体的棱长有何关系？球的直径=正方体的棱长用纸最省时，球内切于正方体.此时球的直径2R=正方体的棱长aa5cm，纸盒的表面积为S=6a2=652=150至少要用150cm2的纸 例3.(2)一水晶球内嵌有一个过同顶点的棱长分别为 2cm，3cm，4cm的长方体工艺品，且此长方体的各顶点刚好全在球面上，此水晶的体积是多少(忽略中空)解：思考(3)：这种情况我们称长方体内接于球.此时球的直径是什么呢？由题意知，长方体内接于球.此时球的直径2R=长方体的对角线长方体过同顶点的棱长分别为 2，3，4.长方体的对角线为球的直径=长方体的对角线此水晶的体积为1.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的 最大零件的体积.解：由题意知，此时 2R=6，即R=3.最大球零件的体积为练习练习2.一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm 的水槽中装有 200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球.如果木球 的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽 中溢出.解：由题意知，木球浸在水中的体积为水不会从水槽中溢出.(教材P119练习第3，4题)3.已知过球面上三点A，B，C 的截面和球心O的距离为球半径的 一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积 解：如图，设截面圆心为O1,连接AO1，并延长与BC 交于点D，连接OA由正三角形的性质知，D 为BC 中点，且截面半径为 由球的截面性质可知球的表面积为 课堂小结课堂小结 1.球的表面积公式和体积公式是怎样的？2.我们是如何推导出球的体积公式的？其中蕴含了什么样的思想？类比，极限，作业作业教材P120习题8.3第4，7，9题

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