椭圆中的最值问题与定点、定值问题

1、椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1） 利用定义转化为几何问题处理；（2） 利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3） 利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注 意椭圆中x、y的取值范围；（4） 利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理 。一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。2 2推导：设点P（x0,y0）为椭圆 笃再=l（a b 0）上的任意一点，左焦点为RGgO）， a b 2 2 2| PR |f c）2 y0，由笃器=1得y =b2（1 -笃），将其代入a ba22C| PFi |（xo c）yo并化简得|PFi |xo a。所以，当点P（x。，y。）为长轴的右端点acA（a,0）重合时，|PFihax = a+a = c + a ；当点P（x。，y。）为长轴的左端点 A（a,0）重a合时。|PFj |min =ca） a =a -c。当焦点为右焦点F2

2、（c,0）时，可类似推出。ax 2.y =1112 2b2-.,消 y 去，得(丄十 4)x2丝 x + b21=0 oyx b2 m mm因为直线y =1x2rx亠b与椭圆 y2 =1有两个不同的交点，m2所以厶-2b2m2XMyMX!x221xMm2mbm2 22,b二輕m2 2o将线段AB的中点M (二mSm +22b兀代入直线1y=mx 2，解得b二m222m2。由得m 6或m3.6。3(2)令 V J 于)，则 lAB1 mx x2)2 4x2 L t2 142 3-2t4 2t22t2-，2t2且O到直线AB的距离为d 2- o设 AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t) = 11 AB | d = 1 , - 2(t 1)2 2 b0)的短轴位于y轴下方的端点，过点Aa2 b2且斜率为1的直线交椭圆于点 B,若P在y轴上，且BP/X轴，琏耶=9.(1)若点P的坐标为(0,1),求椭圆C的标准方程； 若点P的坐标为(0 , t),求t的取值范围解直线AB的斜率为1 ,./BAP= 45, 即厶BAP是等腰直角三角形，|AB|=2|AP|.AB AP = 9,AB|AP|c

3、os 45昙|AP|2cos 45 9=AP匸 3.卩(0,1),二匸 1 , |OA匸 2,即 b = 2,且 B(3,1).91B 在椭圆上，二 + 一= 1,得 a2= 12 ,a2 4x2 y2椭圆C的标准方程为 二+ ：= 1.124由点P的坐标为(0, t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0, t -3), 3 b,即 b 3 t.显然点B的坐标是(3, t),将它代入椭圆方程得：9 t2t 22+2 1,解得 a2 .a2 t 2，3 2ta2b20,-3 - 2t (3-t)2.332t3-2t1，即3-2t 1 3-2t，3所求t的取值范围是0t0，且*x1 x223 4k2 4(m2 -3)，X1 X23 4k23(m2 一4k2) 又 y1 y (kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 mk(x1 x2) m =一3 + 4k设椭圆的右顶点为 D 幕以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)kADkpD=-1，即_ 7 = -1 ， -yi y2xix2- 2(x|X2)* 4 = 0，% -2X2 -22 2 23(m -4k )4(m -3) 16mk22-2224 = 0,化简整理得 7m 16mk 4k = 0，3 4k23 4k23 4k22k22解得g - -2k, m2，且均满足3 4k -m 0。当m -2k时。I的方程为y=：k(x-2),直线过定点D(2,0),与已知矛盾；2k22当mi时，I的方程为y = k(x )，直线过定点(丁 ,0)。2所以直线I过定点，定点的坐标为(一,0)。7

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