束缚态和散射态

1、束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中EV0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论2、势阱中的束缚态对势阱，有，见右图。在处，。为游离态（自由态），E可取任何连续值。时则可能存在束缚态，此时E取分立值。以下讨论的情况。定态Schrodinger方程为，积分可得出势阱跃变条件，与势垒跃变条件比较：在区域，Schrodinger方程可以写成为其中，解为，可写为，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。考虑到，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态或写成c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。按的跃变条件，因此可得出粒子能量的本征值由归一化条件，可得出，是势的特征长度。这样归一化的束缚定态波

2、函数可写为这是势阱中的唯一束缚态。属于能量。在中找到粒子的几率为(b)奇宇称态波函数可表为由点波函数连续性条件可得，所以不可能存在奇宇称束缚定态。从物理上考虑，奇宇称态在波函数点必为0。而势阱又恰在点起作用。所以势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。2、势与方势的关系，跃变的条件势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。从势求解更为方便。不连续，但粒子流密度连续。以下仅讨论的跃变条件。考虑粒子对方势垒的散射。在其内部，Schrodinger方程为考虑粒子能量情况，在势垒内部（），波函数可表为其中。显然，而且。现在让，而对势垒，（？）若保持（常数），则方势垒将趋于一个势垒。利用，得，当，（保持）时，但且当时，代入，由得即此恰为前述的跃变条件。2、束缚能级与透射振幅极点的关系束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。散射问题中我们取，而在势阱束缚态的。对的透射振幅，如把的透射振幅解析延拓到时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。先讨论函数势阱，此时透射振幅由其中，。（注意已将势垒透射振

3、幅表达式中的）如解析延拓到E0能阈（k为虚），由，则S有单极点（一阶极点）。此时，由前可知，此恰为势阱的唯一束缚能级。对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。作业：p82 133.5 一维谐振子 经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等，把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为：m 是粒子的质量k 是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率二、薛定谔方程及解或理想的谐振子是一个无限深势阱。因为时，为束缚态。为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，上述方程可化为这是个变系数常微分方程。（1）先讨论行为，求渐进解（此时可略去）对方程其解显然可以写为，因为，根据束缚态边界条件，有，（2）求实际解利用，有，代入方程（4）得所满足的方程，这就是所谓的Hermite方程。为方程的常点。可在邻域用幂级数展开。计算表明，一般情况下解为无穷级数。当时，不能满足有界条件。为得到有界解，幂级数要求中

4、断为一多项式。可以证明，当时可以得出一多项式解此时， n = 0, 1, 2, 第二项称为n界厄米多项式，宇称为（？）满足下列递推关系，是的次多项式。归一化波函数为，是一个实函数其中。在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系，所以归一化波函数为最常用的几个态，基态，（偶宇称），第一激发态，（奇宇称），第二激发态，（偶宇称）线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子 n=11 时的概率密度分布虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。 讨论：微观一维谐振子能量量子化，能量特点：(1)量子化，等间距 (2)有零点能符合不确定关系概率分布特点: E V 区有隧道效应基态的性质零点能这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。基态位置概率分布是个Gauss分布量子：在x = 0 处概率最大在其它范围也能找到粒子。经典：在处的粒子速率最大，概率最小。基态谐振子只允许在（）的区域中运动，而为经典禁区。在处，势能为总能量。为振动转折点，属于经典禁区。见右图。但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域。容易算出此几率为如图所示。当时，量子概率分布过渡到经典概率分布符合玻尔对应原理跃迁有选择定则： 跃迁只能逐级进行各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线例题：设粒子处在一维无限深势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：分析由对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当时的波函数。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier变换即可。可以求得而或，（）则动量在间的几率为。其中（注意：这里不能用函数来表示上述积分）作业：P81-82 6, 8, 11

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