高中数学导数知识点归纳总结

1、核心出品必属精品免费下载导 数考试内容：导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（ 2）理解导数的几何意义（ 3）掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n N+)的导数公式， 会求多项式函数的导数 （ 4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（ 5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值14. 导 数知识要点导数的概念导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设 x0 是函数 y 有 增 量 x ， 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应f (x) 定义域的一点， 如果自变量x 在 x0 处的 增 量yf (x0x)f (x0 ) ； 比 值yf (x0x) f (x0 )称为函数 yf (x) 在点 x0到 x0x 之间的平均变化率；如果极限xxlimylimf ( x0x) f ( x0 ) 存在

2、，则称函数 yf (x) 在点 x0 处可导， 并把这个极限叫做x 0xx0x(x0 ) = limyf ( x0x)f ( x0 )y f (x) 在 x 0 处的导数， 记作 f( x0 ) 或 y|x x0 ，即 fxlimx.x 0x 0注： x 是增量，我们也称为“改变量 ”，因为x 可正，可负，但不为零 .以知函数 y f (x) 定义域为A ， yf ( x) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 AB .2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x 0 处可导的关系：函数 yf ( x) 在点 x0 处连续是 yf (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果yf (x) 在点 x 0 处可导，那么yf (x) 点 x0处连续 .事实上，令 xx0x ，则 xx0 相当于x0 .于是 lim f (x)limf ( x0x)lim f ( xx0 )f (x0 )f ( x0 )xx0x0x0lim f (x0x)f ( x0 )xf (x)limf ( x0x)f ( x0 )limlimf (x)f (x)0 f ( x)f ( x )

3、.x0x0x 0xx0x 00000如果 yf ( x) 点 x0 处连续，那么yf ( x) 在点 x0 处可导，是不成立的 .例： f ( x)| x |在点 x0 0处连续，但在点x00 处不可导，因为y|x | ，当x 0时，xxy1 ；当x 0 时，y1 ，故 limy 不存在 .xxx0x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f (x) 处的切线的斜率，也 就 是 说 ， 曲 线 y f ( x) 在 点 P (x0 , f ( x) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ( x0 ) ， 切 线 方 程 为yy0f (x)( xx0 ).4. 求导数的四则运算法则：(uv)u vyf 1 (x)f 2 ( x).f n (x)yf1 (x)f 2 (x).f n (x)( uv)uvvu v u( cv) c v cvcv （ c 为常数）v uvu0 )v 2( v注： u, v 必须是可导函数.若两个函数可导， 则

4、它们和、 差、积、商必可导； 若两个函数均不可导， 则它们的和、 差、积、商不一定不可导 .例如：设f ( x)2sin x2 ， g (x) cos x 2 ，则 f (x), g( x) 在 x 0 处均不可导，但它们和xxf ( x)g( x)sin xcosx 在 x0 处均可导 .5. 复合函数的求导法则：f x (x)f (u ) ( x) 或 y xy u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法： 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 如果 f ( x) 0，则 yf (x) 为增函数；如果f (x) 0，则 y f (x) 为减函数 .常数的判定方法；如果函数 yf (x) 在区间 I 内恒有 f ( x) =0，则 yf ( x) 为常数 .注： f (x)0 是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x 3 在 ( , ) 上并不是都有 f (x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） =0，同样 f (x)0是 f （ x）递减的充分非必要条件 .一般地， 如果 f（x）在某区间内有限个点处

5、为零，在其余各点均为正（或负），那么f（ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法： （极值是在 x0 附近所有的点， 都有 f (x) f ( x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f ( x) 的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，如果在x 0 附近的左侧f ( x) 0，右侧f如果在x 0 附近的左侧f ( x) 0，右侧f(x) 0，那么f ( x0 ) 是极大值；(x) 0，那么f ( x0 ) 是极小值 .也就是说 x 0 是极值点的充分条件是x0 点两侧导数异号，而不是f ( x) =0 . 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点 x 0是可导函数 f (x) 的极值点，则 f (x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数 yf (x)x 3 ， x 0 使 f ( x) =0 ，但 x 0 不是极值点 .例如：函

6、数 yf (x)| x | ，在点 x 0 处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点 .8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I. C0（C为常数）(sin x) cos x(arcsin x) 1x 21(x n ) nxn 1（ nR ）(cos x) sin x(arccos x) 11 x2II. (ln x) 1(log a x)1log a e(arctan x) 11xxx 2( e x ) e x(a x ) a x ln a(arc cot x) 11x 2III. 求导的常见方法：常用结论： (ln | x |)1 .x形如 y (xa1 )( xa2 ).(xan ) 或 y( xa1)( xa2 ).(x an ) 两边同取自然对数，可转化( xb1 )( xb2 ).(x bn )求代数和形式 .无理函数或形如 yx x 这类函数，如yx x 取自然对数之后可变形为ln y xln x ，对两边求导可得 y ln xx 1y y ln xy y x x ln x x x .yx

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