线性回归方程——非线性方程转化为线性方程(共7页)
7页1、精选优质文档-倾情为你奉上线性回归方程非线性方程转化为线性方程例1(2015高考全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费xi和年销售量yii=1,2,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. xyw46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi ,w =18 i=18wi(I)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x ,根据(II)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=
2、v-u.【答案】()y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;()y=100.6+68x;()(i)答案见解析;(ii)46.24千元.【解析】(I)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(II)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程,由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-dw=563686.8=100.6, y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(III)()由(II)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值为z=576.60.2-49=66.32. ()根据(II)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12,所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.例2某地级市共有中小学生,其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家
3、精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为5:3:2,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加n%,一般困难的学生中有3n%会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有2n%转为一般困难,特别困难的学生中有n%转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份x取13时代表2013年, x与y(万元)近似满足关系式y=C12C2x,其中C1,C2为常数。(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变) 其中ki=log2yi, k=15i=15ki()估计该市2018年人均可支配年收入;()求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?附:对于一组具有线性相关关系的数据u1,v1,u2,v2,un,vn,其回归直线方程 v=u+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1nui-uvi-vi=
4、1nui-u2,=v-u.【答案】()2.8(万);()1624万.【详解】()因为x=1513+14+15+16+17=15,所以i=15xi-x2=-22+-12+12+22=10. 由k=log2y得k=log2C1+C2x,所以C2=i=15xi-xki-ki=15xi-x2=110 , log2C1=k-C2x=1.2-11015=-0.3,所以C1=2-0.3=0.8,所以y=0.82x10.当x=18时,2018年人均可支配年收入y=0.821.8=0.83.5=2.8(万)()由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人, 2018年人均可支配收入比2017年增长0.821.8-0.821.70.821.7=20.1-1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800(1-10%)=2520人,很困难的学生有4200(1-20%)+280010%=3640人一般困难的学生有7000(1-30%)+420020%=5740人.所以2018年的“专项教育基金”
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