有向线段与向量

1、有向線段與向量主題 1：有向線段與向量1.有向線段：帶有方向的一線段；包括始點、方向、長度。B (終點 )_如圖，記為 AB 。A 、B 兩點的距離稱為AB 之長，記為AB 。A (始點 )2.向量：具有大小和方向的量。1.表示方法：利用有向線段。(不考慮始點的位置 )a2.零向量：始點與終點重合的有向線段，如AA 、 PP ，通常以 0 表示。3.相等向量：二向量相等大小相等，方向相同。4.向量的加法：abababba(三角形法 )(平行四邊形法 )5.向量加法的基本性質：(1)交換律： ab= ba(2)結合律： (ab) + c = a + (bc)(3)零向量： a + 0 = a = 0+ a(4)可逆性： a + ( a) = 0 = ( a) + a6.向量的減法：baba7.向量的分解： ( O ：任一點 )(a) AB AO OB(b) AB OB OA8.向量的係數積：(1)向量係數積的意義：設a 為一向量， rR ，考慮 a 的 r 倍，便以 r a 表示。(2)若 a0 ，(3) r0 時， r a 與a同向，長度為a 的 r 倍。(4) r0 時， r a 與

2、a反向，長度為a 的 r 倍。(5) r0 時， r a = 0 。(6)若 a = 0 ，則 r a = 0 。9.平行向量： abrR ，使得a = r b ；其中 a ， b0 。重要範例1.由正五邊形的邊，可決定個不同的向量。【解答】 10【詳解】正五邊形的五個邊當中，沒有任何二邊是平行的，故每一邊均可決定二個大小相同，方向相反的向量。因其共有五個邊，故共可決定10 個不同的向量隨堂練習 .現有邊長為 1 的一個正立方體， (1)如果向量 u 的始點與終點皆為此正立方體的頂點，且 u3 ，則此正立方體共可決定個不相等的向量 u 。(2)若向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點，且a1，則共有個不相等的向量 a 。【解答】 (1) 8(2) 6【詳解】 (1)所求為 AG ，GA ， EC ，CE ，BH ，HB ， DF 及FD ，共 8 個(2) a AB ， BA ； AD ， DA ； AH ， HA共有 6 個不相等的向量 a隨堂練習 .正五邊形 ABCDE 中的 5 個頂點，可決定個不同的向量。【解答】 20【詳解】於正五邊形的五個頂點A，B，C，D，E 中任取二

3、點，可構成10 個線段 AB ， AC ，AD ， AE ， BC ， BD ， BE ， CD ，CE ， DE ，而每個線段可產生二個向量，如：AB 與 BA ，故可產生 20 個不同的向量2.如下圖， A，B，C，D， E， F 共線且 ABBCCDDEEF ，則下列敘述何者正確？(A) AB1 AF (B) AB 1CF (C) BE3 DB (D) AB 2DE 3BC (E) BD CB 3 AF5325【解答】 (A)(B)(C)(D)(E)【詳解】 (A) AB ， AF 同方向且 5 ABAF AB = 1 AF5(B) AB，CF 同方向且 3AB=CF AB =1 CF3(C) BE， DB 反方向且 2BE= 3DBBE=3 DB2(D) AB 2DE = AB +2AB =3AB =3BC(E) BDCB=2AB +BC=2 AB+AB =3AB =3(1 AF )= 3 AF553.就平行四邊形 ABCD 而言，下列敘述何者正確？(A) AB = CD(B) AB = CD(C)AB + AD = AC(D) AB DC =0(E) AB + BC + CD

4、 + DA = 0 。【解答】 (B)(C)(E)【詳解】 (A) 如圖，應是 AB = DC(B) AB=DC AB= DC =CD(C) AB+AD=AB+BC=AC(D) AB DC = AB AB =0 （不得寫作 0）(E) AB+ BC+CD+DA=AA=0隨堂練習 .P 是平行四邊形ABCD 同平面的任一點，證明：PAPCPBPD 。【證明】 ABCD 為平行四邊形BACDBPPACPPDPAPBPDPCPAPCPBPD4.如圖：長方體 ABCD - EFGH 中， ABa ， ADb ， AEc ，試以 a ， b ， c 表示下列各向量： (1) AG(2) BH(3) CE(4) DF(5) EG【解答】 (1) abc(2)abc(3)abc(4) abc(5) ab【詳解】如圖：向量可作任意的平行移動ABDCEFHGa ， ADBCEHFGb ， AEBFDHCGc(1) AG = AB + BC + CG = abc(2) BH = BA + AD + DH =abc(3) CE = CD + DA + AE =abc(4) DF = DC +CB + AE

5、= abc(5) EG = EF + FG = ab5.民國九十年九月十七日納莉襲臺，基隆河河水暴漲，河水流速v 水10 m / sec，瓜農阿貴被困在河畔甲處，英勇的消防員小綠綠欲從甲處的對岸乙處駕駛救生艇直接渡過基隆河接回瓜農阿貴，如下圖所示，請問小綠綠可以下列 (1)(5)方式中，何種方式渡河才能循營救路線順利救回阿貴？【解答】 (1)(3)(5)(1)(2)(3)(4)(5)【詳解】 (1)正確：加入水流速度(2)錯誤：由 (3)可知錯誤(3)正確：加入水流速度(4)錯誤：由 (1)可知錯誤(5)正確：加入水流速度主題 3：向量的內積1.定義：設 a,b0 ，且為其夾角 (0) ，則定義 a 與 b 的內積為 a ba b cos二向量經過內積運算後為一數，不再是向量。2.性質：設 a ， b ， c 為任意三向量，R ，則：(1) a b b a 。 (交換律 )(2) c (a b) c a c b 。 (分配律 )(3) (a b)( a) b a( b) 。(4) a a a2a 0 。， 等號成立(5) a,b0， a / brR， r0，使得 ar b 。(6) a

6、ba b0 。重要範例1. a ， b ， c 為平面上三個非零向量，請問下列何者正確？(A) abab(B) a b( a b ) 2(C)若 ab ， b / c ，則 ac(D) 若 abab ，則a b(E)若( a b ) ca ( b c )，則 a / c 。【解答】 (A)(C)(D)(E)【詳解】 (A) 對。 ( a b ) 2a222 a b222b( ab )( a2 a b b )2( aba b )2( a ba b cos )2 ab(1cos )0（1cos1）( a b ) 22b a b )a b 得 ( a(B)錯。例： a (1，0)， b(0，1)，則 ab1，但 ( a b ) 20(C)對(D)對。若 a22222 a b222 a bba bababa ba b a b 0，得 a b(E)對。 ( a b ) cc ， a ( b c )a( a b ) ca ( b c )ca ，得 ca ，即 a / c 。2.設 a 3， b2，且 a 2b21 ，求 3a b。【解答】 79【詳解】 a 2b22b ) 2122( a 2 b ) ( aa 4

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