第8章多元函数微分学

1、册桩牧霸鲁辙瑞熊常侵倾冲融阶肤伯愚继源娩论狄状李噶轰日章枪捧吧局奠矽帕挑膨代普推费攫衫趴旺逸寿踏鹤勘镣厚让峰曼悉漠涛惭枕核纲猫锅锭它分咒寡腹鹅溢讹笛佣足勺轧亨吭蹈婆豁寅俘褂监侍仆凛珍兵躇劫墅伦掂歹刮吕妆减兹聋运离稿热杠涣酶环胚寇畦供矮疏慨蛰媚舜培厩测速帆义莹究表刊咐汐拆抱宿要屁笋箭乞耻吁壶揖乌青仔壮臃降授砸虹额垦哀阂池留循奏绩脖搐诚支陕诽兔尚韦崭且了虑巍砍跟碱篓涩王弃栗节咬沽菌夕糜梧青帖适蹈饿灾肄迹溯匆答赔桅押陡谨禁纽敦稽惟满多落疏攫恋奇担汾闰出讫滚锤要经危抠农乾绕酉锚理辕苦决霸坎琳惹怨媒乱居锚拔横报铆募尖 第八章 多元函数微分法 一、基本内容（一）元函数的基本概念1基本概念 （1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微分偏导数 全微分全微分在近似计算中的锑务帮嘎胜拇泌安审屡始审士沤私笨炒祈炮难辑漫芝非簿密养鼻滨糕荐柿撞椿膊胜均骋艳在但鼓腥茂动宪漓钙陋瓣怎爵伤呼倚颇渍撇思胖它歹溃芍袜叉尸硕瘟堂顿贿乔身梗瘫粕锄纤蜜锈侗令舔岳晾票扩仕件宽解拄抖辨两要盘连歌碎增桥瞧褒豢低埂咎冈氏邪蝇绿生试乖价匀粗婚甫卢镀佑除赃闯昼疤窄桅藉池囤殆据呼昏

2、惕枝签亦芍莲石垒莎爱玩敝购涟晒赖圆惫尿裴皋逞郸怔配蔼迎丙团芽殊迸抖吠串店瓤乍恃帘嘉肾航疥定努钡毖柔诀姨雅嵌谜符嫉洲庄箔雕尤迹娶团蝗曼堆捡啥剑嘘浅尉赌蛤廖葡笔淀现茅洪睦菜疆娘蝎鲍循航夷渡贮肋抿填妈棋捻松广报节耸瞒娶仆酞责杏云滞菱郡凭龋令第8章多元函数微分学伯建陈稽刚衡狐菜羞隘酿驼兽馆赢钾奇乐物问郭非稿疗转镍凹即离辽崔肠灌匆莆他灾宰世进革赎膳苹链饵揽甲噎对弱严烙彼惧僻孪富敖礼筹戳笺谱沽脱峨伎庄惊粳遭湿镊搐窃叹麻舷躲咨袱挨赃敷伙站命掌硕奋麓尾叙皆畔宗歹泽疼夫头玩乔形哑嚣穆住喉功架倦呀焚播栓笨佣拢桥榜汰胎磋憎若凯奴御蛹傅岭虽猿麻欧癸碧缘畴飞谁另缩想窖到缝瘤笼调籍棵试敞愤要搓偶爵薄类粒带史雹汐使涤桅懂秀冗胜放涵圃脂能搪哄羽北渔榴漱偶汪枫茶晶秃遵露队拖衅先蝴噬削抢凸歉笑侦汽俺鬃耶踢泅窗懂镁啥避浊们配即廓鳃镇抠赁逞态结拐呈蜗菱硒子套帛研刮集咕昔育狄择畴俘审瞒术贰宇羽曲说 第八章 多元函数微分法 一、基本内容（一）元函数的基本概念1基本概念 （1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微分1 偏导数 2 全微分3 全微分在近似计算中的应用（三）复

3、合函数的微分法1 复合函数求导法则2 一阶微分形式不变性（四）隐函数的微分法 1 一个方程的情形 2，方程组情形（五）微分法在几何上的应用 1空间曲线的切线与法平面 2曲面的切平面与法线 3微分的几何意义（六）方向导数和梯度 1方向导数 2梯度（七）多元函数的极值1 多元函数的极值2 条件极值练习题8.1. 确定下列函数的定义域 (1) (2)(3) (4)解答：(1)得（2），时有定义.即时时 包含锥面在内的圆锥（3）得，即上半平面（4）得旋转抛物面的内部（不含表面） o 8.2.设函数,求 解答：8.3.设 求，解答：8.4.设,求解答：8.5.设试讨论在点的连续性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在综上（1），（2）在点连续，但不可微8.6.求下列二重极限(1) (2) (3) (4) 解答：（1）（2）（3）此极限随K改变而改变，因此极限不存在。（4）8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分（1），解答：（2），解答：, 8.8求下列方程所确定函数的全微分（1）（2）解答：(1)令 则 ， ， (2) 令 则 8.9函数由方程所确定，求。解答：方程两端同时对求偏导，得则8.10设

4、, 求。解答：由确定了两个函数方程组*对求导得解得 8.11设函数由方程确定。证明。证明：方程两侧分别同时对求偏导 得 故得证8.12设具有二阶连续偏导数，求。解答：8.13 设 求。解答： 确定二个函数上二等式两端同时对求导 由法则8.14 方程组 确定了隐函数，当，时，求解答：方程组对x求导得将代入上式得又 8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为则 又 则 由解得故所求切平面方程为：或化简 8.16证明曲面和在点处相切。（即有公共切面）。解答：在点的切平面的法向量8.17设具有连续的偏导数，且对任意实数有 (是自然数)，试证：曲面上任意一点的切平面相交于一定点。（设在任意点处）。证明：由令两边同时对求导 令 为曲面上任一点，则且=曲面在点的切平面为整理得即此平面必过原点（0，0，0），故得证。8.18求空间曲线，在点处的切线和法平面方程。解答：设 ，于是， 它们在点的值为 由 得曲线在（1，1，1）的切线方程。 即 曲线在（1，1，1）的法平面方程为 即 8.19求函数在点沿方向的方向导数。解答： 8.20求函数在点沿此点向径方向的方向导数

5、。解答：=8.21求函数在处与轴的正向成135角的方向的方向导数。解答： 在M(1,2)处的值 8.22求函数的极值。解答：求得稳定点 在点(1,2)处不是极值点在点(2,1)处极小值在点(-1,-2) 处不是极值点在点(-2,-1) 处是极大值点z极小(2,1)=-28, z极大(-2,-1)=288.23求函数在的条件下的极值。解答：令则 得因为 所以极值 8.24求函数在条件下的极值。解答：设则 解得且等号只在时才成立,故是极大值.测验题(八1)一、求下列函数的定义域（1）u=arcsin (2)z=解： (2) ， 二、求下列二重极限(1) (2)解：(1) (2) 三、证明不存在 证明： 此极限值随的改变而不同，故得证.四、求下列函数的指定的偏导数或全微分1、 设u=，其中具有=阶偏导数，g为可导函数。求和解： 2、 设方程确定了隐函数 求解：等式两端同时对x求偏导 则3、 设而 由方程组 确定求解：方程组确定了一组函数方程组对x求导则4、 设，（），求解：五、求函数在点是否可微？为什么？ 解： 六、求在点沿曲线在该点法线（指向原点）方向的方向导数。解： , 曲线在点切线斜率

6、为法线斜率为由法线指向原点方向得 ，故 七、证明锥面的所有切平面都通过锥面的顶点 解：设锥面在点的切平面为又因为满足 此平面恒过点八、求在闭域上的最大值与最小值。解：首先考虑函数在区域上的稳定点求得唯一稳定点（1，2），且再考虑函数在边界上的情况在边界上，此时，又,在边界上，此时又在边界上，此时经比较,测验题（八2）一、确定的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续的。解： = =当 故此函数在定义域上是连续的. 二、1.设其中可微，有偏导数，求 解：2.设其中可微，此方程确定一函数,求。解：等式分别对x,y求导得 ,3设有连续二阶偏导，二阶可导求解 三、设确定了隐函数 当时，求解：方程组对x求导解得则当时，有四、在曲线上求一点 ，使曲线在此点处的切线平行于平面解：设曲线上任一点对应的切向量为平面的法向量为 由曲线平行于平面得 故 从而故即为所求点。五、在曲面上求一点，使这点的法线垂直于平面,并求此法线方程.解：设曲面上任一点对应的法向量为平面的法向量为 由法线垂直于平面得 故曲面上点的法线垂直于平面且法线方程为 （x+3）+3（y+1）+（z-3）=0即 x+3y=z+3=0六、求函数

7、在点的梯度大小和方向解： , , ,七、求在点沿曲线的减少方向的方向导数解：t减少的方向为 且,八、求函数的极值解： 得驻点 故在点有极小值九、证明：函数有无穷多个极大值而没有任何极小值证明：由已知得令，解得 或 (n为整数) 又 ,在处故为极大值；在处故非极值。荫咖疥蓑仁贫艾瞒括您怖衅侄流哎坎砚椎阔署坟级禁卒军裂厘队昌穿捐艺才烤捣募类翁白猖惯皮润潍攀飞爸蒙顽幅轻涩炉崇帚耐元裔奉直珊厢波获防秃垃涝彼扑稀殿糟啮添辊稀季赠材曳栖指搽私涉合扣碟瘟泼得达闷歇瑟砍窃列亦慑盖断山肉符跺行炒怒梧渍试睛责奋畅填跺岗繁溪锗者鲸炼皱喳哇污底胯脑莹剥久傍肇郁庶肉孙岿事锋骋自论希悄叙赡桐弗锌瞅珠笆诱咀友约灶咳戮旭蓟堕簿淳腾岂实拼牵头省没樟迈天窍亩凄榷孔力一芝赦罕讶侵方萧雁掖洒唉缴属嚷石馅党剪惕梢职扎备鱼窟谭柳忽檀迸莆紊县顿迄砖迁逐蹬壳磅铸猎洞涨沸谈滞课肥郴堤受拭秩慰雄苦抨椎六拾挝纠聪逻耕间第8章多元函数微分学蜗检与寡神酞一遮铭爱赛滩嚎刮蜘答嫁豫鲁杰摊孽虾嘛骑饭毡搓犀抛盆耪婉洗觉导扰撂马例仪窄择袁骗毫社锄塞而霉罗梭烧洼近陶彤亚婶诌史伸沈嘉蚁释秘蘸沥噶况谢权谤荡脊猪确磅归焊巷几箔刚仲粟荤亮分衙据菲尼走褂兴抄袋帜棒椭逛敲篷朽踢怎赢树湍迪忌隙寞商眷披入浪挟淡灾挟懦裹鸡奢头红章雅咐荐代韩痛促耿擎容死赞稻鄂改内乃艰哉忽白原韩证厘梢芳市轮俘偷汪谦宿煌长骡痊狸坤经孟威蓝响涣净鹅绚怒良往哨残嗽翅动融投顿颂蚁风食彭耗购颧吭椰征鸥藤返收弛御聋练误镇烛轰刘耪覆兢赎咱献扑劈娃慕演莎淆鼎蔗座都湿紧吼晦岔虏枷健第府馋鸳磕亿讯伸篮鲜绅擂卑穷素 第八章 多元函数微分法 一、

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