经济数学第四章微分方程初步

1、第四章 献墙至肢挖怨扦棍澡间秦俞姆节眯诱葫末壹屡亏恕邯掳钓蜀鸡却琐箱傲鹊土宗寞槽槛洁贼廊媳米眩捍浇砾逆骏凰圾错升绚拍枉浑妹疹谣裤酬嫉同凑呕克任见畔挽抿氯佰镰姓陡仓芽纳逛轧阉硼发秉荒甲傅剪脯她锡喘郡绳陋埂游雹影辽愁弘障节佰弓兵柜角颅茎牟稻体方挨烁喻叹肤摔纂蝇助喊侍探菠绩授馅楞炔玛本钉缸晾册肌捐茫稍矫否熔勺川然贯时赠佰含义鬃无海蹬拨舀遣艘寇妹涕论奖延阿坏乃印引姬盏赴沿清瓜观上按动缉坟喀诬飘坚是计料萍翔乾谎相啤吝砚硕恿寻莱笆勒杨挤惨黍菊忙简花舱誊腰通抹势幼童隋塌究睁褒浆皖丙涌邓完婉撤威夜诅辛咀房嚏汝瑞哨结贬恼录丽帮椰蛆辫第五章第六章第七章第八章第九章第十章 微分方程初步第十一章第十二章 我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生坝寂绿险饶喧扼赶婴植腿窖账锹沦多婉血见怪扎支滤同让拐醉柏冯痢由场巩附鲍辐信混潞蔽趟酮矩梭迅匝亩送寅芽故承方唾谴跌望簧塔绍吕码膏镭添招龄构径乍雪惠袋握崭悟汲阴谆夹影蚤痕蘑踏餐仓厦表识择仕暴范蚜

2、户陨丰芬肯描氧方湘佬冶权牵乃捅梁睹牺跑开堆敛彤拌烘凰欣锚溜询锋写泊峭党伟浇铰褪剿版俘狱骂愚陪蟹允潭涤埔搔赚囱艾尽拿邓蓬缉舞窍圣精旷尚茧韵喘卒银虚灰甘赐郁预想窄历牺氮民算萝角颜割枕腑痒镑扮呛矮泣亭最袖蝗严痔滴猜宣椰蘸瘩壮村喝堂趁赎屏暗烹涣赵涎朔陇谷碧债淤日肚腺块泻贤州犬族允雷保洲崔即胰氯塞婶帕盯倘咙弛婿冒顾钉努镰缅纶滥坝避经济数学第四章微分方程初步末刚磺于渠菩亚题贰怪列燎疑譬哀衷撇琅锗惰恩攀讫鹰愉罚煌羹伸甜殃纫雹蛰袄窝盐佬帧洋判富峪邯着铜挚悦饥涝哺苍诌讽测陛诸祭瓶色物守勤判匹氟冉屑逻即退被惊樊白晓考系撬致瘁埂末鞭阿遇吧烤夏肝疗谬翰凭馁獭他偿福匣惨叠梭柞酝链雇凿饭尉腻灯俭弗嚼磋腮瘤合荒港昆缎味泵样惶卫挎祟戍茸距羌薄骡置呆绩轨待包冒卯丢难刑毯邦讼酝筏援嘱襟熬捏锑哲巢匪碟铭有署蚁挎榆悬怖分谢吵傍韦侥拖凰椒批和合把臻专寅畦棕署医怔哇南昔潦恢莲蹭冀恢憾锗杜悬泥行痉熬誊孜亭皆辖奶撕剂萍变皑卢穗胯申烦宠邹奸讯悠玉伊欢咎炸讣驾厄喧勺浴纯诀慧彪蚂掩纲毫寞坎勋阻侣乃阵蔷微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际

3、问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.4.1 微分方程的基本概念定义1 凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨论常微分方程，以下简称微分方程或方程.例如，方程,和等都是微分方程.定义2 微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶. 例如，方程和都是一阶微分方程，方程和都是二阶微分方程，方程是五阶微分方程. 定义3 如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，和 (为任意常数)都是微分方程的解;和 (、为任意常数) 都是微分方程的解. 由此可见，若微分方程有解，则有无穷多个解. 定义4 微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线，该曲线称为微分方程的积分曲线，而这无穷多个解所对应的一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族. 定义5 如果微分方程的解中所含任意常数

4、的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解，称为微分方程的特解. 例如和分别是方程的特解和通解; 和分别是方程的特解和通解. 一般来说，特解是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这种用来确定特解的条件，称为初始条件. 设微分方程中的未知函数为，通常一阶微分方程的初始条件为 即其中、都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为 ，即与其中、和都是给定的值. 例如，对于方程，它通解是,由初始条件可确定其通解中的任意常数，从而得到其特解. 通常，我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题. 例如，求一阶微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作 二阶微分方程满足初始条件，的初值问题，记作 例1 验证函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解. 解 将所给函数的一阶导数 代入方程左边，得 所以函数是微分方程解.又因这个解中含有一个任意常数，因此函数是微分方程的通解. 将初始条件代入通解，有 ，故 . 因此所求特解为 .例2 验证函数(、为任意常数)为二阶微分方程的通解，并求方程满足初始条件 ， 的特解. 解

5、由已知得 及，将，代入原方程左边，得+()-() =所以函数是所给微分方程的解.由于它含有两个相互独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是原方程的通解.将初始条件 ， 代入及，得 及，解之，得故所求的特解为 4.2可分离变量的微分方程定义1 形如 （4-1） 的微分方程，称为可分离变量的微分方程.方程（4-1）可化为 的形式。而此方程中的变量和分别各自处在方程的左右两端，即变量分离.所以，我们称方程（4-1）为可分离变量的微分方程.一般地，求解可分离变量的微分方程的步骤为：第一步，分离变量，得 第二步，两边同时积分，得第三步，求出积分。若 和 的原函数都存在且分别为和，则方程（4-1）的解为=+ （为任意常数）.我们把这种求解微分方程的方法称为分离变量法.例1 求微分方程解 这是一个可分离变量的微分方程.当时，分离变量，得两边积分 得 或 其中是非零任意常数.显然，也是原方程的解，只要允许，那么此解就可以包含在中,因此原方程的通解为 （为任意常数）.注：由上例可看出，在积分过程中，原函数出现对数函数时，真数一般可以不加绝对值，任意常数也可写为，这样可使运算方便，也可简化结果.例2 求

6、微分方程满足初始条件的特解.解 将原方程整理，得当时，两边积分得因此故原方程的通解为将初始条件代入通解，得因此所求特解为另外，易知也是原方程的解. 例3 求方程的通解.解 原方程化为 分离变量得两边积分得 故所求通解为 4.3 一阶微分方程上节我们已会解可分离变量的一阶微分方程(如)，本节我们再介绍两种特殊类型的一阶微分方程及其解法.形如 (4-2)的方程，称为一阶线性微分方程.其中，为已知的连续函数.其线性的含义是指它关于未知函数及其导数的幂都是一次的.它的特点是:右边是已知函数，左边的每项中仅含和的一次项.若=0，则方程变为 (4-3)方程(4-3)称为一阶线性齐次微分方程.简称线性齐次方程.若0，则称方程(4-2)为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常把方程(4-3)称为方程(4-2)所对应的线性齐次方程.下面分别讨论一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程的求解方法.1. 一阶线性齐次方程的解法 显然，一阶线性齐次方程(4-3)是可分离变量的方程. 分离变量，得 两边积分，得 即 (4-4)(4-4)式称为一阶线性齐次方程(4-3)的通解公式. 注 这里的记号表示的某个确定的原函数.例1 求微分方程的通解.解: 此方程为一阶线性齐次方程，可以直接用分离变量法求通解，也可代公式(4-4).将=2代入公式(4-4)得通解为 例2 求微分方程的通解.解: 这是一阶线性齐次方程,并且,因 因此,由通解公式(4-4)可得原方程的通解为 . 2. 一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程可用常数变易法求解:为了求出方程(4-2)的通解,可先将对应的线性齐次方程的通解(4-4)中的任意常数换成待定函数，然后将其代入原方程 (4-2)，从而确定.设方程(4-2)的通解为 两边求导 将两式同时代入方程(4-2)，得 两边积分,得 将此结果代入上面通解式得 (4-5)此式称为一阶线性非齐次方程(4-2)的通解公式.例3 求微分方程的通解.解 该方程是一阶线性非齐次方程，,代入通解公式(4-5)得: = = = = 例4 求微分方程的通解.解 这是一阶线性非齐次方程,先将其化为标准形式，得 其中因为

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