2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷（含解析）

1、2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的方程为 3x+y1=0，则直线的倾斜角为()A. 6B. 3C. 23D. 562.若双曲线y22x2m=1的焦点与椭圆x24+y29=1的焦点重合，则m的值为()A. 2B. 3C. 6D. 73.以A(2,0)，B(0,4)两点为直径的两个端点的圆的方程为()A. (x+1)2+(y2)2=20B. (x+1)2+(y2)2=5C. (x1)2+(y+2)2=20D. (x1)2+(y+2)2=54.已知圆(x1)2+y2=4上有四个点到直线y=x+b的距离等于1，则实数b的值不可能为()A. 1B. 0C. 2D. 35.若圆x2+y22x+4y+1=0被直线ax2by2=0(a0,b0)平分，则1a+4b的最小值为()A. 9+4 22B. 16C. 17D. 2526.已知抛物线y2=8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC+BD的最小值为(

2、)A. 2B. 4C. 6D. 87.已知在ABC中，顶点A(1,1)，点B在直线l：xy+2=0上，点C在x轴上，则ABC的周长的最小值为()A. 5B. 2 5C. 4 5D. 5 528.已知底边BC长为2的等腰直角三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足DB：DC= 3：1，则ABD面积的最大值是()A. 3+ 62B. 3 62C. 3 2+2 32D. 3 22 32二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若方程x25t+y2t1=1所表示的曲线为C，则()A. 曲线C可能是圆B. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1t3C. 若1t510.已知椭圆C：x225+y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则()A. AB的最大值为10B. C的焦距是短半轴长的34C. |AF2|+|BF2|为定值D. 存在点A，使得AF1AF211.下列有关直线与圆的结论正确的是()A. 过点(3,4)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为xy7=0B. 若直线kxyk1=0和以M(2,1)，N(3,2)为

3、端点的线段相交，则实数k的取值范围为32,2C. 若点P(a,b)是圆x2+y2=r2(r0)外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相离D. 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x3)2+(y+4)2=a(a0)恰有3条公切线，则a=1612.已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)，的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y= 3x，且F1到l的距离为3 3，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为F1PF2的平分线，则下列说法正确的是()A. 双曲线C的方程为x29y227=1B. 双曲线C的离心率为2C. |PF1|=3|PF2|D. 点P到x轴的距离为3 152三、解答题：本题共10小题，共118分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题12分)已知圆C：x2+y2=4，过点P(1,1)的直线被圆C截得弦长最短时，直线的方程为_ 14.(本小题12分)已知双曲线C：x2a2y2b2=1的离心率是 5，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则ta

4、nMF1F2的值为_ 15.(本小题12分)如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm.为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_ cm16.(本小题12分)过直线l：xy+4=0上任意点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB过定点_ ；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为_ 17.(本小题10分)已知ABC的三个顶点分别是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)(1)求边BC的高所在的直线方程；(2)求平分ABC的面积且过点B的直线的方程18.(本小题12分)已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为2 55(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M(3,2)，求直线l的斜率19.(本小题12分)已知点P(4,0)，圆C的圆心在直线x

5、y4=0上，且圆C与y轴切于点M(0,2)(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为2 2，求直线l的方程20.(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过(1,2)，(14,1)，(2,2)三点中的两点(1)求抛物线的方程；(2)已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=3MF，求直线OM的斜率的最大值(O为坐标原点)21.(本小题12分)一动圆与圆C1：x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆C2：x2+y26x91=0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值22.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M与点F1的最大距离为3(1)求椭圆C的方程；(2)如图，若直线l与x轴、椭圆C顺次交于P，Q，R(点P在椭圆左顶点的左侧)，且PF1Q+PF1R=，求RQF1面积的最大值答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为直线l的方程为 3x+y1

6、=0，即y= 3x+1，所以直线的斜率为k= 3，所以直线的倾斜角为23故选：C求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角本题考查直线倾斜角与斜率关系，属基础题2.【答案】B【解析】解：因为椭圆x24+y29=1的焦点为(0, 5),(0, 5)，所以双曲线y22x2m=1的焦点为(0, 5),(0, 5)，故2+m=5，解得m=3故选：B先求出椭圆的焦点，再根据两曲线的焦点重合，列方程可求出m的值本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题3.【答案】D【解析】解：依题意，圆心坐标为AB中点，即(1,2)，半径为12|AB|=12 (20)2+(0+4)2= 5，所以圆的方程为(x1)2+(y+2)2=5故选：D根据给定条件，求出圆心坐标及半径得解本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题4.【答案】A【解析】解：由圆的方程(x1)2+y2=4，可得圆心为原点O(1,0)，半径为2，若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y=x+b的距离d小于1，又直线的一般方程为xy+b=0，所以|10+b| 1+11，所以|1+b| 2，所以 21b0,

7、b0)平分，即圆心(1,2)在直线ax2by2=0(a0,b0)上，故a+4b2=0，即a+4b=2，故1a+4b=(1a+4b)12(a+4b)=12(1+16+4ba+4ab)12(17+2 4ab4ba)=252，当且仅当4ba=4ab，结合a+4b=2，即a=b=25时取等号，所以1a+4b的最小值为252故选：D由题意可得圆心(1,2)在直线ax2by2=0(a0,b0)上，即得a+4b=2，将1a+4b化为1a+4b=(1a+4b)12(a+4b)，展开后利用基本不等式即可求得答案本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，属中档题6.【答案】B【解析】解：如图，抛物线的方程为y2=8x，焦点F(2,0)，准线x=2，由抛物线的定义可知|AC|+|BD|=|AF|+|FB|4=|AB|4，即当且仅当|AB|取得最小值，|AC|+|BD|取得最小值，依据抛物线的定义可知当|AB|为通径时，即|AB|=2p=8时为最小值，|AC|+|BD|的最小值为4故选：B直接有抛物线的定义和性质即可求解本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题7.【答案】B【解析】解：如图示：，设A

8、(1,1)点关于直线xy+2=0的对称点为A(a,b)，则b1a1=1a+12b+12+2=0，解得：a=1b=3，故A(1,3)，点A关于x轴的对称点A(1,1)，则|AA|= 4+16=2 5，故AA的长即ABC周长的最小值故选：B根据对称性结合图形求出三角形的最小值即可本题考查了对称性问题，考查转化思想，数形结合思想，是基础题8.【答案】A【解析】解：以BC的中点O为原点，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图，则A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)，设D(x,y)，因为DB：DC= 3：1，所以 (x+1)2+y2 (x1)2+y2= 3，化简整理得：(x+1)2+y2=3(x1)2+3y2，即(x2)2+y2=3，所以点D的轨迹为以(2,0)为圆心，以 3为半径的圆，当点D与直线AB距离最大时，ABD面积最大，直线AB的方程为xy+1=0，且|AB|= 2，设圆心到直线的距离为d，则点D到直线AB的最大距离为d+r=|20+1| 2+ 3=3 2+2 32，所以ABD面积的最大值为12 23 2+2 32=3+ 62故选：A建系求出D点的轨迹方程，利用圆上动点到直线距离最值的求法求出三角形高的最大值即可得解本题考查动点的轨迹方程和三角形的面积公式，属于中档题9.【答案】ABD【解析】解：对A选项，当5t=t10，即t=3时，曲线C是圆，A选项正确；对B选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5tt10，1t0t105tt1，1t5且t3，C选项

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