2022-2023学年福建省宁德市高三上学期一模考试数学试题【含答案】
宁德市宁德市2022-2023 学年高三上学期一模考试学年高三上学期一模考试数 学 试 题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 6060 分分）一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只选项中，只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的.1已知z 1 i4，则z的虚部为（）A2 B2 C2i D2i 2设全集 U 是实数集 R，Mx x3，Nxx25都是 U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）Axx23 Bxx23 Cxx23 Dxx25 3.设m5sin,则10tan10tan1 A.m2 B.m1 C.m2 D.m 4中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年 10 月 31 日 15：37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等 5 名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排 2 人，“问天实验舱”安排 2 人，“梦天实验舱”安排 1 人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 A9 种 B24 种 C26 种 D30 种 5已知数列an的前n项和为Sn，且满足SSSmnm n，若a21，则a20（）A2 B4 C20 D40 6如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对上饶市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独塔空间主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线的函数解析 式为 ee02xxaaf xaa，则下列关于 f x的说法正确的是（）A0a，f x为奇函数 B0a，f x有最小值 1 C0a，f x在,0上单调递增 D0a，f x在0,上单调递增 7已知抛物线2:4C yx的焦点为,F N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若|2|MNNF，则MPF的面积为（）A8 B12 C4 3 D4 6 8关于x的不等式221 e102xxax 的解集中有且仅有两个大于 2 的整数，则实数 a 的取值范围为（）A4161,5e2e B391,4e2e C42164,5e3e D3294,4e3e 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分.在每小题给出的选项在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分 9 下图为 2022 年 8 月 5 日通报的 14 天内 31 省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）A无症状感染者的极差大于400 B确诊病例的方差大于无症状感染者的方差 C实际新增感染者的平均数小于389 D实际新增感染者的第 80 百分位数为 641 10 已知函数 cos0,0,0f xAxA在512x 处取得极小值，与此极小值点最近的 f x图象的一个对称中心为,06，则下列结论正确的是（）A 2cos 26f xx B将2sin2yx的图象向左平移23个单位长度即可得到 f x的图象 C f x在区间0,3上单调递减 D f x在区间0,2上的值域为2,3 11如图，在多面体ABCDES中，SA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且/DE SA，2SAABDE，,M N分别是线段,BC SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点,D C），则下列说法正确的是（）A存在点Q，使得NQSB B存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60 C三棱锥QAMN体积的最大值是23 D当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大 12已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 13f xgx，33g xf x若 yg x的图象关于点(1,0)对称，则（）A fxf x B gxg x C 202216066kf k D 202010kg k 第 II 卷（非选择题共 90 分）三、填空题三、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应把答案填在答题卡的相应位置位置 13已知向量，若，则_ 14某地区调研考试数学成绩 X 服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取 10 名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为_ 15设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则 a 的取值范围是_ 16已知双曲线E：222210,0 xyabab斜率为18的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，P点的坐标为()1,2-，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，如图1.若直线CD的斜率为18，则E的离心率为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.(17 题题 10 分分,18-22 每题每题 12 分分)17已知数列满足131152，nnaaaa是公差为 1 的等差数列.(1)证明：nan是等比数列；(2)求的前项和.18在12c；sincos()6aBbA这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，D是AC边的中点，4 7aBD，且_。(1)求b的值；(2)若BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19如图在平行四边形 ABCD 中，AEDC，4AD，3AB，60ADE，将ADEV沿AE折起，使平面ADE 平面 ABCE，得到图所示几何体 (1)若 M 为 BD 的中点，求四棱锥MABCE的体积MABCEV；(2)在线段 DB 上，是否存在一点 M，使得平面 MAC与平面 ABCE 所成锐二面角的余弦值为2 35，如果存在，求出DMDB的值，如果不存在，说明理由 20甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这 3 项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3 项程序分别由 3 个考核组独立依次考核，当 3 项程序均通过后即可签约去年，该校数学系 130 名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过 3 项程序考核放弃签约的情况）性别 人数 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 男生 45 15 女生 60 10 今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m，其中 0m1(1)判断是否有 90%的把握认为这 130 名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件 A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X，Y当 E（X）E（Y）时，证明：P（A）P（B）参考公式与临界值表：22n adbcabcdacbd，nabcd 2Pk 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距与短轴长相等，且过焦点垂直于x轴的弦长为2 2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(2,0)M的直线l与椭圆C交于 A，B 两点，点P为直线4 2x 上(不在x轴上)的一动点.|AB|=4 103，求直线 AB 的方程；设直线 PA，PB，PM 的斜率分别为123,k k k试探究：是否存在常数,R使得123kkk恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22已知函数23()2ln(23)2f xaxxax.(1)求()f x在(0,1的最小值；(2)若方程()f xk有两个不同的解12,x x，且102,x x x成等差数列，试探究0fx值的符号.一、单选题一、单选题 1A 2B 3.C 4B 5A 6D 7C 8D 二、多选题二、多选题 9AD 10ACD 11ACD 12宁德市宁德市2022-2023 学年高三上学期一模考试学年高三上学期一模考试答案及评分标准答案及评分标准第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）BD 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明 三、填空题三、填空题 13已知向量abcabt(3,4),(1,0),，若a cb c,，则t_【答案】5 14某地区调研考试数学成绩 X 服从正态分布N 95,2，且P X(70)0.15，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取 10 名学生的数学成绩，记成绩在70,120的人数为随机变量，则的方差为_【答案】2.1 15设点ABa(2,3),(0,)，若直线AB关于ya对称的直线与圆xy(3)(2)122有公共点，则 a 的取值范围是_【答案】3 2,1 3 16已知双曲线E：222210,0 xyabab斜率为18的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，P点的坐标为()1,2-，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，如图 1.若直线CD的斜率为18，则E的离心率为_ 四、解答题四、解答题 17已知数列满足131152，nnaaaa是公差为 1 的等差数列.(1)证明：nan是等比数列；(2)求的前项和.【答案】(1)答案见解析(2)21422nnnnS，Nn.【分析】对于（1），证明11nnanan常数即可；对于（2），由（1）可知2nnan，后可求得.【详解】（1）根据题意有2132212aaaa，即2222 152,2aa a ，所以1212211nnaaaann，3 分 故112nnanan，所以nan是首项为 2，公比为 2 的等比数列.5 分（2）由（1）可知，11122nnnana，6 分 所以2nnan，所以22221 2nnnS 7 分 12122 12nn n.2111422222nnn nnn，其中Nn.10 分 18在12c；sincos()6aBbA这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，D是AC边的中点，4 7aBD，且_。求b的值；(2)若BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)8b (2)24 35【分析】（1）选，在ABD和BCD中，应用余弦定理，由cosADB cosDB0C，求得结论；选，由正弦定理化边为角，求得A角，然后设2bx，cy，在ABC和ABD中对A角应用余弦定理列方程组求解；（2）由ABEACEABCSSS求得AE，再由角平分线定理求得BE后可得三角形周长【详解】（1）解：选择：设2bx，则ADDCx，在ABD中，22112 14432cos=8 78 7xxADBxx，2 分 在BCD中，22112 112cos8 78 7xxCDBxx，3 分 ADBCDB，cosADB cosDB0C，即2232+=08 78 7xxxx，所以4x，故8b 6 分 选择：由正弦定理得，sinsinsincos6ABBA，0,B，sin0B，sincos6AA，即31sincossin22AAA，于是tan3A，3A，3 分 设2bx，cy，在AB
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宁德市宁德市2022-2023 学年高三上学期一模考试学年高三上学期一模考试数 学 试 题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 6060 分分）一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只选项中，只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的.1已知z 1 i4，则z的虚部为（）A2 B2 C2i D2i 2设全集 U 是实数集 R，Mx x3，Nxx25都是 U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）Axx23 Bxx23 Cxx23 Dxx25 3.设m5sin,则10tan10tan1 A.m2 B.m1 C.m2 D.m 4中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年 10 月 31 日 15：37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等 5 名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排 2 人，“问天实验舱”安排 2 人，“梦天实验舱”安排 1 人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 A9 种 B24 种 C26 种 D30 种 5已知数列an的前n项和为Sn，且满足SSSmnm n，若a21，则a20（）A2 B4 C20 D40 6如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对上饶市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独塔空间主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线的函数解析 式为 ee02xxaaf xaa，则下列关于 f x的说法正确的是（）A0a，f x为奇函数 B0a，f x有最小值 1 C0a，f x在,0上单调递增 D0a，f x在0,上单调递增 7已知抛物线2:4C yx的焦点为,F N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若|2|MNNF，则MPF的面积为（）A8 B12 C4 3 D4 6 8关于x的不等式221 e102xxax 的解集中有且仅有两个大于 2 的整数，则实数 a 的取值范围为（）A4161,5e2e B391,4e2e C42164,5e3e D3294,4e3e 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分.在每小题给出的选项在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分 9 下图为 2022 年 8 月 5 日通报的 14 天内 31 省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）A无症状感染者的极差大于400 B确诊病例的方差大于无症状感染者的方差 C实际新增感染者的平均数小于389 D实际新增感染者的第 80 百分位数为 641 10 已知函数 cos0,0,0f xAxA在512x 处取得极小值，与此极小值点最近的 f x图象的一个对称中心为,06，则下列结论正确的是（）A 2cos 26f xx B将2sin2yx的图象向左平移23个单位长度即可得到 f x的图象 C f x在区间0,3上单调递减 D f x在区间0,2上的值域为2,3 11如图，在多面体ABCDES中，SA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且/DE SA，2SAABDE，,M N分别是线段,BC SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点,D C），则下列说法正确的是（）A存在点Q，使得NQSB B存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60 C三棱锥QAMN体积的最大值是23 D当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大 12已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 13f xgx，33g xf x若 yg x的图象关于点(1,0)对称，则（）A fxf x B gxg x C 202216066kf k D 202010kg k 第 II 卷（非选择题共 90 分）三、填空题三、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应把答案填在答题卡的相应位置位置 13已知向量，若，则_ 14某地区调研考试数学成绩 X 服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取 10 名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为_ 15设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则 a 的取值范围是_ 16已知双曲线E：222210,0 xyabab斜率为18的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，P点的坐标为()1,2-，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，如图1.若直线CD的斜率为18，则E的离心率为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.(17 题题 10 分分,18-22 每题每题 12 分分)17已知数列满足131152，nnaaaa是公差为 1 的等差数列.(1)证明：nan是等比数列；(2)求的前项和.18在12c；sincos()6aBbA这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，D是AC边的中点，4 7aBD，且_。(1)求b的值；(2)若BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19如图在平行四边形 ABCD 中，AEDC，4AD，3AB，60ADE，将ADEV沿AE折起，使平面ADE 平面 ABCE，得到图所示几何体 (1)若 M 为 BD 的中点，求四棱锥MABCE的体积MABCEV；(2)在线段 DB 上，是否存在一点 M，使得平面 MAC与平面 ABCE 所成锐二面角的余弦值为2 35，如果存在，求出DMDB的值，如果不存在，说明理由 20甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这 3 项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3 项程序分别由 3 个考核组独立依次考核，当 3 项程序均通过后即可签约去年，该校数学系 130 名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过 3 项程序考核放弃签约的情况）性别 人数 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 男生 45 15 女生 60 10 今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m，其中 0m1(1)判断是否有 90%的把握认为这 130 名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件 A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X，Y当 E（X）E（Y）时，证明：P（A）P（B）参考公式与临界值表：22n adbcabcdacbd，nabcd 2Pk 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距与短轴长相等，且过焦点垂直于x轴的弦长为2 2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(2,0)M的直线l与椭圆C交于 A，B 两点，点P为直线4 2x 上(不在x轴上)的一动点.|AB|=4 103，求直线 AB 的方程；设直线 PA，PB，PM 的斜率分别为123,k k k试探究：是否存在常数,R使得123kkk恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22已知函数23()2ln(23)2f xaxxax.(1)求()f x在(0,1的最小值；(2)若方程()f xk有两个不同的解12,x x，且102,x x x成等差数列，试探究0fx值的符号.一、单选题一、单选题 1A 2B 3.C 4B 5A 6D 7C 8D 二、多选题二、多选题 9AD 10ACD 11ACD 12宁德市宁德市2022-2023 学年高三上学期一模考试学年高三上学期一模考试答案及评分标准答案及评分标准第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）BD 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明 三、填空题三、填空题 13已知向量abcabt(3,4),(1,0),，若a cb c,，则t_【答案】5 14某地区调研考试数学成绩 X 服从正态分布N 95,2，且P X(70)0.15，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取 10 名学生的数学成绩，记成绩在70,120的人数为随机变量，则的方差为_【答案】2.1 15设点ABa(2,3),(0,)，若直线AB关于ya对称的直线与圆xy(3)(2)122有公共点，则 a 的取值范围是_【答案】3 2,1 3 16已知双曲线E：222210,0 xyabab斜率为18的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，P点的坐标为()1,2-，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，如图 1.若直线CD的斜率为18，则E的离心率为_ 四、解答题四、解答题 17已知数列满足131152，nnaaaa是公差为 1 的等差数列.(1)证明：nan是等比数列；(2)求的前项和.【答案】(1)答案见解析(2)21422nnnnS，Nn.【分析】对于（1），证明11nnanan常数即可；对于（2），由（1）可知2nnan，后可求得.【详解】（1）根据题意有2132212aaaa，即2222 152,2aa a ，所以1212211nnaaaann，3 分 故112nnanan，所以nan是首项为 2，公比为 2 的等比数列.5 分（2）由（1）可知，11122nnnana，6 分 所以2nnan，所以22221 2nnnS 7 分 12122 12nn n.2111422222nnn nnn，其中Nn.10 分 18在12c；sincos()6aBbA这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，D是AC边的中点，4 7aBD，且_。求b的值；(2)若BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)8b (2)24 35【分析】（1）选，在ABD和BCD中，应用余弦定理，由cosADB cosDB0C，求得结论；选，由正弦定理化边为角，求得A角，然后设2bx，cy，在ABC和ABD中对A角应用余弦定理列方程组求解；（2）由ABEACEABCSSS求得AE，再由角平分线定理求得BE后可得三角形周长【详解】（1）解：选择：设2bx，则ADDCx，在ABD中，22112 14432cos=8 78 7xxADBxx，2 分 在BCD中，22112 112cos8 78 7xxCDBxx，3 分 ADBCDB，cosADB cosDB0C，即2232+=08 78 7xxxx，所以4x，故8b 6 分 选择：由正弦定理得，sinsinsincos6ABBA，0,B，sin0B，sincos6AA，即31sincossin22AAA，于是tan3A，3A，3 分 设2bx，cy，在AB
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