高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形

高考数学十年高考真题精解（全国卷I） 专题4 三角函数与解三角形 十年树木，百年树人，十年磨一剑。本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。 三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。 （一）2020考纲 考点 2020考纲要求 三角化简求值 了解任意角的概念 了解弧度制的概念，能进行弧度和角度的互化 理解同角三角函数的基本关系式 三角恒等变换 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切共识，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 三角函数的图像和性质 理解任意角三角函数（正弦、预先、正切）的定义 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性 三角函数的单调性和最值问题 理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等） 理解正切函数在区间内的单调性 三角函数的图像和性质，以及三角函数间的平移、伸缩和翻折问题 了解三角函数的物理意义，能画出的图像，了解参数A，w,对函数图像变化的影响 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 利用正弦定理和余弦定理求解三角形 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 三角函数和解三角形的综合应用，以及在实际问题中的处理 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 （二）本节考向题型研究汇总 题型考向 考点/考向 三角化简求值 （1） 利用任意角和弧度制的概念求值 （2） 利用三角函数线求角度的大小 （3） 利用同叫三角关系式求值 三角恒等变换 利用诱导公式求三角函数值 三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题 （1） 正弦函数和余弦函数之间的平移伸缩翻折问题 （2） 正弦函数和正弦函数、余弦函数和余弦函数之间的平移伸缩翻折问题 （3） 利用平移、伸缩和翻折解决一些实际问题 三角函数的图像和性质 （1） 三角函数的图像的基本性质 （2） 三角函数的单调性求解以及利用单调性解决相关参数问题 （3） 三角函数的周期性和对称性以及利用周期性和对称性解决相关参数问题 （4） 利用三角函数的奇偶性求参数问题 三角函数的最值问题 （1） 辅助角公式求解三角函数最值问题 （2） 利用三角函数图形性质以及定义域和值域求相关最值问题 利用正弦定理解三角形 （1） 利用正弦定理边化角解决相关问题 （2） 利用余弦定理角化边解决相关问题 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理求解相关角度以及边长问题 利用正弦定理和余弦定理综合处理解三角形的相关问题 利用正弦定理和余弦定理解决相关实际问题 解三角形在平面几何中的应用 利用解三角形解决相关实际问题 一、考向题型研究一： 三角化简求值 （2019新课标I卷T7文科）tan255°＝（　　） A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+ 【答案】D 【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解． 【解析】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°） ＝＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题． （2015新课标I卷T2理科） =（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】原式= ==，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. （2010新课标I卷T1文科） (A) (B)- (C) (D) 【答案】C 【分析】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 （2011新课标I卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【解析】解：根据题意可知：tanθ=2， 所以cos2θ===， 则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣． 故选：B． 【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． （2010新课标I卷T2理科）记,那么 A. B. - C. D. - 【答案】B 【分析】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】,所以 一、角的有关概念 1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类 （1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角． （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合． 3．象限角与轴线角 第一象限角的集合为； 第二象限角的集合为； 第三象限角的集合为； 第四象限角的集合为 终边与轴非负半轴重合的角的集合为； 终边与轴非正半轴重合的角的集合为； 终边与轴重合的角的集合为； 终边与轴非负半轴重合的角的集合为； 终边与轴非正半轴重合的角的集合为； 终边与轴重合的角的集合为； 终边与坐标轴重合的角的集合为． 象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限． 2．象限角的判定有两种方法： 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想； 二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角． 3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制 1．1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 2．弧度制 用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算 ． 4．弧长公式 ，其中的单位是弧度，与的单位要统一. 角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式 . 角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）. 三、任意角的三角函数 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是． 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 三角函数线的应用： 1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r. 2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集． 3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况. 4．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 补充： 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系 ． 2．商的关系 ． 3．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形：； （2）商的关系的变形：； （3）． 同角三角函数基本关系式的应用： 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解. 二、考向题型研究二： 三角恒等变换 （2017新课标I卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　　． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=，cosα=，再根据两角差的余弦公式即可求出． 【解析】解：∵α∈（0，），tanα=2， ∴sinα=2cosα， ∵sin2α+cos2α=1， 解得sinα=，cosα=， ∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=， 故答案为： 【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题 （2016新课标I卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= . 【答案】 【解析】依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ) =- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)= （2010新课标I卷T14文科）已知为第二象限的角，,则 . 【答案】 【分析】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所 (2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　） A. 3α﹣β= B .3α+β= C. 2α﹣β= D.2α+β= 【答案】C 【分析】 化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin