2021年贵州省贵阳市白云永茂中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年贵州省贵阳市白云永茂中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 三角形ABC中，若2，且b=2，角A=300，则ΔABC的面积为： A． 1              B．         C．2                      D．   参考答案： D 略 2. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（   ） A. [0，1]       B. [1，10]      C. [1，3]       D. [2，3] 参考答案： B 3. 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】e=cos+isin，化简即可得出． 【解答】解：e=cos+isin=i，此复数在复平面中对应的点位于位于第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查了复数的三角形式、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 4. 若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（　　） A． B． C． D．   参考答案： A 考点:几何概型． 专题:概率与统计． 分析:易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得． 解：∵实数a，b满足a2+b2≤1， ∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π， ∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0， 即a+b≤1，表示图中阴影部分， 其面积S′=π﹣（π﹣）=+ 故所求概率P== 故选：A． 点评:本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．   5. (    ) A. i B. -i C. 0 D. 1 参考答案： B 【分析】 利用复数的除法运算，即得解. 【详解】化简： 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 6. 已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值   A.16            B.8           C.           D.4 参考答案： B 由题意知，即。所以设公比为，所以，当且仅当，即，所以时取等号，所以最小值为8，选B. 7. 执行如右图所示的程序框图，如果输入的是4，则输出的的值是 A．8    B．5    C．3     D．2 参考答案： C 略 8. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ▲ ） A．甲   B．乙    C．甲乙相等   D．无法确定 参考答案： A 略 9. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）, 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（   ） （单位cm） A．           B． C．           D． 参考答案： D 10. 映射如果满足集合中的任意一个元素在中都有原像，则称为满射，已知集合中有5个元素，集合中有3个元素，那么集合到的不同满射的个数为（    ）                                                                         A．243            B．240             C．150                 D．72 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则+的最大值是　　． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的值域求出最大值． 【解答】解：∵BC边上的高AD=BC=a， ∴S△ABC=， ∴sinA=，又cosA==， ∴=2cosA+sinA（cosA+sinA）=sin（α+A）≤，（其中sinα，cosα=）， ∴的最大值． 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 12. 已知x1是方程x＋1gx＝3的解，x2是方程x＋10x＝3的解，则x1＋x2＝________. 参考答案： 3 13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是__. 参考答案： 可行域如图，显然当直线过M(-2,1)时，. 14. 已知半径为l的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为________. 参考答案： 略 15. (理)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,且,其中，则        参考答案： 16. 已知函数f（x）=alnx﹣（x+1）2，若存在正数x1，x2，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是　   　． 参考答案： a＞0 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由题意，f（x）在（0，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）=﹣2（x+1）＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即可求解． 【解答】解：由题意，f（x）在（0，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）=﹣2（x+1）＞0在（0，+∞）上有解， ∴a＞2x（x+1）在（0，+∞）上有解， ∵y=2x（x+1）在（0，+∞）上单调递增， ∴ymin=0， ∴a＞0． 故答案为：a＞0． 17. 与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A． （Ⅰ）若a=1，求A； （Ⅱ）若A=R，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论； （II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围． 【解答】解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4 当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3 当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0 当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2 综上，A={x|x≤0，或x≥2}； （II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立 当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4 ∴x≥a+1或x≤ ∴a+1≤﹣2或a+1≤ ∴a≤﹣2 综上，a的取值范围为a≤﹣2． 【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. 设函数． ⑴若，求的单调区间； ⑵若当时，，求的取值范围． 参考答案： 解：⑴时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. ⑵ 由⑴知：，当且仅当x=0时等号成立. 故， 从而当即时，，而， 于是当时，. 由可得：， 从而当时，， 故当时，，而，于是当时，， 综合以上得：a的取值范围是 （其它方法酌情给分）   略 20. 设点A（，0），B（，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为. （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）若直线过点F（1，0）且绕F旋转，与圆相交于P、Q两点，与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|求△的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）. 参考答案： （Ⅰ）设，则 化简　　轨迹的方程为 （Ⅱ）设，的距离， ，将代入轨迹方程并整理得： 设，则， 设，则上递增， ， 略 21. （本小题满分14分） 如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点． （1）求曲线弧的方程； （2）求的最小值（用表示）； （3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．   参考答案： 解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆， .  ……………………………………………1分 ∴的方程为.  ……………………………………………3分 （注：不写区间“”扣1分）   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 （2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，       则有， 即  ……①    ………………………………4分 又，，从而直线的方程为       AP：；   BP： ……………5分      令得，的纵坐标分别为      ；      .     ∴  ……②     ………………………………………7分        将①代入②， 得 .    ∴ . 当且仅当，即时，取等号． 即的最小值是.   ……………………………………………9分 解法2：设，则由三点共线，得 ．．① 同理，由三点共线得： …②   …………………5分 由①×②得：. 由，代入上式，. 即 .   …………………………………………………………7分 ， 当且仅当，即时，取等号． 即的最小值是 .  ………………………………………………9分 （3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有        ，…………………………………………………10分 从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，       ；   ， ……………………………11分      于是有 ， 而，矛盾.………………………13分 ∴不存在点Ｐ，使为正三角形． ……………………………………………14分   22. （本小题满分12分）设函数（），其图象的两个相邻对称中心的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若△的内角为所对的边分别为（其中），且， ,面积为，求的值. 参考答案： （1）                  ………… 3分 由题意知 , 所以， …………………………… 6分 （2）由，得 ,  , 所以 ,即, ……………… 8分 又 ,将,代入得 ，………………………… 10分 又解得………………………… 12分