专题06 圆锥曲线中的定值问题(教师版)

专题06 圆锥曲线中的定值问题 一、单选题 1．过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值. 【详解】 由题意可设，，， 则，， 即有， 即， 由，， 可得， 因为，所以. 故选：. 二、多选题 2．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．为坐标原点，则（ ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【答案】CD 【分析】 由题意可得：．设，，，．，．利用点差法即可得出，，，即可判断． 【详解】 解：椭圆的离心率为，， ，故错； 设，，，．，． ，， 两式相减可得：． ， 同理，， 故错，正确． 又， 故选：CD． 【点睛】 方法点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、点差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，处理中点弦问题常用的求解方法： （1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率； （2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解 3．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ） A．为定值 B．直线过抛物线的焦点 C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4 【答案】ACD 【分析】 由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D. 【详解】 对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，设直线，代入可得， 所以，即，所以直线过点， 而抛物线的焦点为，故B错误； 对于C，因为， 当时，等号成立， 又直线过点，所以，故C正确； 对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解. 三、解答题 4．已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，点，求的最大值； （3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）138；（3）存在，，. 【分析】 （1）设点，由題意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得. （2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理从而转化为：线性规划问题处理. （3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解. 【详解】 （1）设点，由題意可得，即， 化简可得. （2）设，由(1)得点满足的方程， 又点是点与点的中点，则，代入上式消去可得，即的轨迹为. 令，则，可视为直线在y轴上的截距， 的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径， 所以，，所以. 因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得，显然， 设，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值. 当直线的斜率不存在时，，，由可得. 所以存在点，使得为定值. 【点睛】 方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 5．已知，为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，实数. 【分析】 （1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可得到椭圆的方程； （2）求出，设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理，不妨设，，求出，化简整理即可求得结果 【详解】 解：（1）根据椭圆的定义，可得，， ∴的周长为， ∴，， ∴椭圆的方程为，将代入得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，由消去，整理得， 设，，则，， 不妨设，，， 同理， 所以 即，所以存在实数，使得成立 【点睛】 关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理将表示出来，然后代入中可求出的值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 6．已知椭圆的离心率为，的面积为 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据离心率和面积建立等式求解； （2）分别求出PB直线方程，PA直线方程，得出，即可求出. 【详解】 （1）由题： ，解得：， 所以椭圆方程为； （2）设， PB直线方程，， PA直线方程，， = 【点睛】 此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆的位置关系证明定值问题，关键在于准确写出方程和点的坐标，建立等式求解. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1，k2． （1）证明：k1·k2为定值； （2）过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n），则可表示出，进而可得的表达式，又根据点P，M在椭圆上，利用点差法，即可得证； （2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理，可得的表达式，根据，可得的关系，即可求出，代入弦长公式，即可求得结果. 【详解】 （1）证明：设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n）， 则，， 则， 又，， 故， 所以为定值． （2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0， 则有，． 又，所以-y1＝2y2， 故，解得， 所以． 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键设直线x＝ty＋1可简化计算，联立直线与曲线，利用韦达定理，弦长公式等进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 8．已知双曲线的方程. （1）求点到双曲线C上点的距离的最小值； （2）已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，. 【分析】 （1）设双曲线上任意一点为，则，利用两点间的距离公式求出，利用二次函数求最值即可；（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切可得到，设，直线与双曲线的方程联立消，利用韦达定理得到 ，再求出，最后利用得出结论即可. 【详解】 （1）设双曲线上任意一点为， 则， ， 当时，等号成立， 即点到双曲线C上点的距离的最小值为； （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切， 所以圆的圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，① 设， 由消得， ， 由题意知：， ， 由韦达定理得， 由①得：， 则， 因为， 所以为定值. 【点睛】 关键点睛：求解圆锥曲线中的定值问题，直线与曲线方程联立利用韦达定理求解是解题的关键. 9．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程； （2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为. ①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值； ②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值. 【答案】（1）；(2) ① ② 【分析】 (1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求出椭圆方程； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可. 【详解】 (1) , 右顶点为， 即抛物线的焦点 , ， 故抛物线方程为， 因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离， 所以， ， ， 椭圆的标准方程为： (2) ①设，代入 消元得： ， 设， ， ， 又， 同理可得 ②仍设， 代入椭圆方程消元得： ， 即， ， ， 同理得， ， （当且仅当 时，等号成立）， 令，则 ， , 对于，在 上是增函数， 当时，即时，， ， 面积的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难. 10．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点. （1）设的斜率为，求的值； （2）求证：为定值. 【答案】（1）5；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出直线方程为，联立直线与抛物线，由即可求解； （2）设直线方程为，由韦达定理表示出，即可得出定值. 【详解】 （1）依题意得， 所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 由得，， 所以，. 所以. （2）证明：设直线的方程为， 直线与抛物线的交点为，， 由得，， 所以，. 因为 . 所以为定值. 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 11．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程. (2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）是，. 【分析】 (1)根据题意分析可得到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其方程为； (2) 设直线的方程为，点，直线的斜率分别为和，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得和，根据斜率公式得和，利用和化简即可得到定值. 【详解】 (1)设直线的距离为，因为动圆与圆相外切，所以， 所以到直线的距离等于到的距离， 由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为：， 所以抛物