河南省许昌市禹州鸠山乡第一高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

河南省许昌市禹州鸠山乡第一高级中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A．4                B．3                C．2                D． 参考答案： C 2. 若,则下列不等式成立的是(    ) A．         B．         C．      D． 参考答案： D 3. 双曲线C的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为 A． B． C． D．    （　　） 参考答案： B 4. 化极坐标方程为直角坐标方程为（    ） A．   B．   C．   D．  参考答案： C     解析： 5. 若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是(    )   A.            B.          C.            D. 参考答案： A 6. 化简的结果为     A．5 B． C．－ D．－5 参考答案： B 略 7. 对于任意的实数a、b，记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数，其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是(    ) A．y=F(x)为奇函数 B．y=F(x)有极大值F(-1) C．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2 D．y=F(x)在(-3,0)上为增函数 参考答案： 【知识点】函数的图象；命题的真假判断与应用． A2   B8 【答案解析】B  解析：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}， ∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R， f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分， 由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确 y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B正确 y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C不正确 y=F（x）的没有最小值和最大值.故D不正确 故选B． 【思路点拨】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否． 8. 过点的直线将圆分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据题意，判断当过点的直线与过点和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，计算即可求解. 【详解】点为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大， 只有当过点的直线与过点和圆心的直线垂直时， 可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小， 过点和圆心的直线斜率为 过点的直线斜率为 故选：D 【点睛】本题考查直线与圆相交弦的问题，属于基础题. 9. 已知命题，命题 ，若命题均是真命题，则实数的取值范围是（  ）          A．             B．                   C．                  D． 参考答案： C 10. 如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．4      B．      C．      D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为(     ). A.46            B.36          C.56       D.60   参考答案： A 略 12. 设向量，，若，则      参考答案： 略 13. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生． 参考答案： 37　 14. 已知函数． （）判断下列三个命题的真假： ①是偶函数；②；③当时，取得极小值． 其中真命题有__________．（写出所有真命题的序号） （）满足的正整数的最小值为__________． 参考答案： （）①②；（） ①∵定义域关于原点对称， ． ∴为偶函数；①正确； ②对于，仅须考虑的函数值即可， 如图所示，在单位图中，，连接， 易知， 设的长为，则， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，②正确； ③， 令得， 即，但当时，不满足， ∴时，取不到极小值，故③错． ∴选择①②． （）当时，，不满足； ， 当时，，满足， ∴． 15. 已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为            参考答案： 〔1，2〕 16. 不等式的解集是        . 参考答案：   不等式等价于 17. 如图，在正方体中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_________. 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=CD，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点． （1）求证：PA∥平面DEF． （2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结AC，交DF于O，连结OF，推导出四边形CDFB是平行四边形，从而DF∥BC，进而O是AC中点，由此得到OE∥PA，从而能证明PA∥平面DEF． （2）以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值． 【解答】证明：（1）连结AC，交DF于O，连结OF， ∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD， E，F分别是PC，AB的中点． ∴CDBF，∴四边形CDFB是平行四边形，∴DF∥BC， ∴O是AC中点，∴OE∥PA， ∵PA?平面DEF，OE?平面DEF， ∴PA∥平面DEF． 解：（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°， △APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，F是AB的中点， ∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD， 以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系， 设BC=CD=，则D（0，﹣，0），C（﹣1，﹣，0），P（0，0，），E（﹣，），F（0，0，0）， =（0，﹣，0），=（﹣，），=（﹣1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣）， 设平面DEF的法向量=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（，0，1）， 设平面PCD的法向量=（a，b，c）， 则，取b=，得=（0，，﹣1）， cos＜＞===﹣， ∴平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值为． 19. （本小题满分13分） 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （Ⅰ）若成绩大于或等60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数； （Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“”概率。 参考答案： （I）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人。   ………………3分    （II）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×0.004=2， 设成绩为x、y  ……………………5分 成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c， ………………6分 若一种情况，  ………………7分 若三种情况，   ………………8分 若内时，有   共有6种情况，所以基本事件总数为10种，   ………………9分 事件“”所包含的基本事件个数有6种   ………………10分     ………………12分 20. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于极点O，且，求实数的值 参考答案： （1）；．    （2），联立极坐标方程得，， ∴． ∵，∴或．   21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.   参考答案： （I）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以，所以椭圆的方程为. （Ⅱ）直线的斜率显然存在，设直线的方程为， ，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得  ① ，消去并整理得。 因为直线与抛物线相切，所以， 整理得  ② 综合①②，解得或. 所以直线的方程为或. 【解析】略 22. （12分）求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程． 参考答案： 考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程． 专题： 计算题． 分析： 设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），由圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得a，b，r的值，进而得到圆的方程． 解答： 解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0） 由题意有： 解之得 ∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8 点评： 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，其中根据已知构造关于圆心坐标及半径的方程组，是解答本题的关键．