1、合工大数字信号处理习题答案第2章习 题2.1 用单位脉冲序列6(n)及其加权和表示题1图所示的序列。2.2 x(n) =、(n 4) 2、(n 2) -、(n 1) 、(n) 、(n -1)2、(n -2) 4、(n -3) 0.5、.(n -4) 2、(n -6)2.3 请画出下列离散信号的波形。(1) 1- I u(n)21)(2) (2)nu(n)(3) 2nz(n1)(4) u(n -1) -u(n -5)答案略2.3 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。(1) x(n) = Acos(- nn -), A是常数; 78J 、j( n -二)(2) x(n) = e 8。2.3 (1) 红 =14,所以周期为14。,032二 ,一 一 ,、,(2) =16几,是无理数,所以x(n)是非周期的。. 02.4 设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。(1) y(n)=x(n-n0)(2) y(n) =x2(n)(3) y(n) = x(n)sin( n)(4) y(n) = ex(n)2.4 (1)由于
2、Tx(n) =x(n n0)Tx(n - m) = x(n - m - n0) = y(n - m)所以是时不变系统。Tax1 (n) bx2(n): ax1 (n - n0) bx2 (n - n0); ay1(n) by2 (n)所以是线性系统。2 ,(2) Tx(n -m) = x (n -m) = y(n -m),所以是时不变系统。Tax1 (n) +bx2(n) =ax1 (n) +bx2(n)2 # ay1 (n) +by2(n),所以是非线性系统。(3) Tx(nm) = x(nm)sin(ccn) # y(n m),所以不是时不变系统。Tax1 (n) +bx2(n) =ax1 (n) +bx2(n)sin(on) = ay1 (n) +by2(n),所以是线性系 统。(4) Tax1 (n) +bx2(n) =eax1 桢2(n) = eax(n)ebx2(n)手 ay1(n) + by2(n),所以是非线性 系统。Tx(n 一m) =ex(nm = y(n 一m),所以是时不变系统。2.5 给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1) y
3、(n) = x(n) x(n 1)(2) y(n)=x(n-n0)(3) y(n)=exn -n0(4) y(n) = 、. x(k) k =n -no2.5(1)该系统是非因果系统,因为n时刻的输出还和n时刻以后(n十1)时间)的输入有关。如果|x(n)|MM ,则| y(n) |M| x(n) |+|x(n+1)|M2M ,因此系统是稳定系统。(2)当叫0时,系统是非因果系统,因为 n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当n0之0时,系统是因果系统。如果|x(n)|WM ,则|y(n)|WM ,因此系统是稳定系统。(3)系统是因果系统,因为 n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M ,则|y(n)|Wex(n) |e|x(n)| ,因此系统是稳定系统。(4)系统是非因果系统,因为 n时刻的输出还和 x(n)的未来值有关。如果|x(n)|EM ,n no则,I y(n)区 | x(k)国2n0+11 M因此系统是稳定系统。 k生io2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n),试说明该系统是否是因果、稳定的。(1) h(n)=2nu(n)(2) h(n) =2nu(-
4、n)(3) h(n) =S(n +2),.、1,、(4) h(n) = u(n) n2.6 (1)当n0时,h(n) = 0,所以系统是因果的。由于cd一012 . | h(n) |=222=:n 二二二所以系统不稳定。(2)当n父0时,h(n)丰0 ,所以系统是非因果的。由于QO 一012 | h(n) | = 222=2n 二-二二所以系统稳定。(3)当n 0时,h(n)丰0 ,所以系统是非因果的。由于cO1h(n)gn 二-二二所以系统稳定。(4)当n0时,h(n) =0,所以系统是因果的。由于.7111|h(n)产干021222所以系统不稳定。2.7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示,试求输出y(n)。2.7y(n) = h(n) x(n) =2、(n) B(n -1) 0.5、(n - 2) x(n)= 2x(n) x(n -1) 0.5x(n -2)= 2(n 2) -、(n 1) -0.5、(n) 2、(n -1) 、(n -2) 4.5、.(n -3)2、(n -4) 、(n-5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应 h(n)和
5、输入x(n)分别有以下三种情况,分别求出输出 y(n)。(1) h(n)=R3(n), x(n) = &(n)(2) h(n)=R4(n), x(n) = 6(n)-6(n-2)(3) h(n) =0.5nu(n), x(n)=Rs(n)2.8(1) y(n) = x(n) * h(n) = R3(n) * R3(n)=、(n),“(n -1),(n - 2) R3(n)=R3(n) R3(n -1) R3(n -2)=(n) (n -1) (n-2) (n-1) (n - 2) (n-3) (n-2) (n-3) (n - 4) =(n) 2 (n-1) 3 (n-2) 2 (n-3) (n-4)(2) y(n) =x(n) * h(n) = 6(n) 6(n 2)* R(n)= R4(n) -R4(n-2)= 、(n) 、(n-1) 、(n -2) 、(n -3) -、(n -2) 、(n-3) 、(n -4) 、(n-5)=(n)二*n 7) _、(n -4) - (n 55)(3)y(n) =x(n) * h(n) =0.5nu(n) * R5(n)=0.5n u(n) ; (
6、n) (n -1)(n -2) (n -3) (n - 4)=0.5nu(n) 0.5nu(n-1) 0.5n,u(n-2) 0.5nu(n -3) 0.5nu(n - 4)2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。(1) Sa(100t),、2 一 Sa (100t)(3) Sa(100t) +Sa(50t)2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔, 必须先求出信号频谱的最高频率。(1)抽样函数对应于门函数:G,(t)T E-SafeT /2),其中T为门函数的宽度。由傅立叶变换的对称性知:E .Sa(t . /2) )2 G ()由题可知,7=200。因此,此信号的最高频率是100弧度/秒。因此,2fs _100*2即,fsn型Ts =100(2)信号为两个抽样函数的乘积,因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的 结果来确定信号频谱的范围。通过上一题目可知,Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒,因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。,200Ts =200fs 二 ,冗(3)由傅立叶变换的线性,总信号的频谱为两个信号频谱的叠加,然后确定最高频率。100100?
7、I s冗2.10 设系统由下面差分方程描述:,、11 ,y(n) =-y(n -1) x(n) -x(n-1)22设系统是因果的,(1)求该系统的单位脉冲响应。(2)利用卷积和求输入 x(n) =ejtnu(n)的响应。2.11 (1) x(n)= 9(n),因为 y(n)=h(n)=0,n0所以 h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5n-1h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+ g(n)(2) y(n)=x(n)*h(n)= 0.5 n-1u(n-1)+ 沏)* ejwnu(n)=0.5 n-1u(n-1)* e jwnu(n)+ ejwnu(n)= ejwn-0.5n/ (ejw-0.5)u(n-1)+ e jwnu(n)2.11有一理想抽样系统,抽样频率为Cs =6兀,经理想低通滤波器Ha(jC)还原,其中心 |:二 3二I j 1-3 二1Ha(j,)= 20,今有两个输入,X
8、ai(t) = cos27tt ,Xa2(t) = COS5nt。输出信号ya1(t)、ya2 (t)有无失真?为什么?2.11 根据奈奎斯特定理:6 二因为xai(t) =cos2nt ,而频谱中最局角频率Qai =2n ,所以ya (t)失真。2222 2.12 有一连续信号 Xa(t) =COS(2nft +邛),式中 f = 20Hz, Cp(1)求出Xa(t)的周期;(2)用采样间隔T = 0.02s对Xa(t)进行采样,试写出采样信号Xa(t)的表达式。1 C C2.13 (1) Ta =一 = 0.05s foOoC(2) ?a(t) =xa(t)ST(t) =E xa(nT)S(t -nT) = s cos(2nfnT + 中)6(t nT)n 二;n 二二二oO=、cos(40 二nT,工)、(t-nT)n 二二二第3章习 题3.1求下列序列的Z变换,并标明收敛域。(1) x(n) =、(n -4)x(n)=(2)(5) x(n) =0.5nu(n -1)(6) x(n) = n(0.2)u(n)答案:3.1z变换的定义可知,解(1)由odX(z) - %、(n -4)zn(2)COX(z)=n 二.二二n)_n zQOn z0_n1 一 11,1 z | 31.zJ 22(3)X(z) = 一n 二.二:-n - 1)z6一.,n -J-noO-2nzn 11_1一 一z21I z卜:2二 1 n(4)X(z)-1zn注n由于dX(z)dz,二 1=,(-n)z n占noO”(-z )=n工12, Iz1 - zl rz则 X (z) = In z -
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