兰州大学固体物理第9章金属费米面说课讲解.ppt

第九章金属费米面§1.费米面构图 费米面是T=OK时电子填充的最高等能面, 费米面附近的电子决定金属的动力学性质(xìngzhì), 自由电子的费米面是球面, 但晶体中的电子受周期势场的作用, 费米面就不再是球面, 费米面的形状很重要, 若知道了费米面的形状就知道了决定金属动力学性质(xìngzhì)的电子态, 费米面是研究金属动力学性质(xìngzhì)的指南第一页，共101页 能带构图法, 显示的是在波矢空间一定方向能量随波矢的变化,同能带构图法一样, 费米面也有三种构图法, 显示的是波矢空间T=OK时等能面的形状, 三种图示法依据(yījù)的基本原理仍然是: 第二页，共101页 我们从自由电子的费米面出发,即作空点阵近似下的三种费米面构图,知道了自由电子的费米面,把周期势场作为一种微扰,在区边界上加一点修正,便可得到近自由电子模型(móxíng)的费米面一般金属中的周期势基本上是弱周期势)第三页，共101页1.自由电子费米面构图法我们以二维正方点阵为例,先画BZ,一般至少要画到第3BZ, 费米球的半径(bànjìng)为kF,则晶体中的总电子数为: 第四页，共101页。

式中S代表每个初基晶胞的电子数, a2是初基晶胞的体积,S/a2是初基晶胞中的电子浓度,对于(duìyú)二维正方点阵:第五页，共101页第六页，共101页2．费米(fèi mǐ)面的简约区图 要把表示同一个轨道的点连接起来, 就要根据 将第一ＢＺ以外的费米(fèi mǐ)面的部分移回到第一ＢＺ中,得出费米(fèi mǐ)面的简约区图第七页，共101页第八页，共101页第九页，共101页3．自由电子费米面的周期区图 把自由电子的简约区图加上适当的 在波矢空间重复可得到自由电子费米面的周期区图， 这样第3BZ内的简约区图上的四块费米面就连接在了一起，成为一个花结型，此时费米面就成为完整(wánzhěng)的，在简约区图中代表同一轨道的分离点就连在一起了第十页，共101页第十一页，共101页第十二页，共101页4．近自由电子费米面主要考虑周期势场为微扰对电子能量的影响，这些影响主要有：（1）区边界(biānjiè)上产生能隙自由电子的E（K）函数是抛物线，在弱周期势场作用下，在区边界(biānjiè)上有能隙出现，能隙的大小取决于势函数的付里叶分量的系数，由于能隙的出现，就会对外加恒定磁场下电子的运动规律产生影响。

第十三页，共101页 无能隙时电子在整个E(K)曲线上运动，产生能隙以后，电子的能量只能在同一能带中变化，而不能跨越能隙，只能在同一能带周期性地变化，在外加恒定(héngdìng)磁场下，能带中的电子只能在同一能带的等能面上运动第十四页，共101页（2）由于周期(zhōuqī)势场作微扰使得几乎所有费米面都与区边界正交 在区边界上 ， 曲线在区边界处转弯，由于Bravais点阵都有中心反演对称性,BZ也有中心反演对称性,即k与-k对应的能量相等,且 这是由于 曲线的中心反演对称性得到的 第十五页，共101页从 函数的平移对称性显然(xiǎnrán)应有:而由（1）式应有: 第十六页，共101页既要(2)式成立,又要(3)式成立,显然只有:在区边界上,波矢沿垂直于区边界的方向变化(biànhuà),能量将是不变化(biànhuà)的,即等能面与区边界正交第十七页，共101页第十八页，共101页 (3)周期势场的作用(zuòyòng)将使费米面上的尖角部分钝化(变圆滑)第十九页，共101页 以二维正方点阵的第3能带为例,在恒定磁场下, 自由电子费米面上的电子沿费米面运动,若区边界上有能隙出现,则电子只能在第3能带的费米面上(即花结上)运动,在每一点电子的速度(sùdù)垂直于等能面,若花结的尖角不变园滑的话,电子的速度(sùdù)就不是唯一的。

第二十页，共101页 周期势场的作用不仅使电子只能在一个能带中运动,同时区边界与费米面垂直,则必然使花结的尖角变得园滑,只有这样才使电子在每一点有一个唯一的速度,否则在一个点就会有不止一个速度,因此(yīncǐ)尖角部位就一定要变得园滑些,而且有些费米面的小片可能在变得园滑的过程中消失.第二十一页，共101页(4)费米面包围的总体积决定于电子浓度,而于点阵作用的细节无关,也就是说周期势场只能改变费米面的形状而不能改变体积: 根据以上四点, 我们(wǒ men)可以把自由电子费米面修正为近自由电子费米面第二十二页，共101页第二十三页，共101页费米面的作图可以归纳为下面的基本步骤：a.画出BZ的扩展区图，至少要画三级BZb.根据给定的点阵类型及初基晶胞的价电子数算出费米波矢，在波矢空间(kōngjiān)的第1BZ以费米波矢kF为半径按比例画一个球第二十四页，共101页c.识别自由电子费米面落在各级BZ的各个(gègè)部分，将属于同一BZ（或同一能带）的费米面的各部分平移适当的倒易点阵矢量移回到简约区中去，这样就得到自由电子费米面的简约区图d.然后修正为近自由电子的费米面，若需要周期区图，只需把简约区图重复即可。

第二十五页，共101页5．Harrison （哈里森）构图法 利用此图一次便可得到简约区图和周期区图 基本方法是： （1）首先根据每个初基晶胞(jīnɡ bāo)中的电子数算出费米波矢,并对给定的点阵画出倒易点阵 （2）在倒易空间以倒易阵点为圆心，以费米波矢为半径画一个球第二十六页，共101页 （3）判断各BZ的轨道的原则是：至少是在一个球内的任意点是属于第1BZ中已被电子占据(zhànjù)的轨道， 或至少是被一个球覆盖的区域是第1BZ中已被电子占据(zhànjù)的轨道，至少是被两个球覆盖的区域是第2BZ中已被电子占据(zhànjù)的轨道， 至少是被三个球覆盖的区域是第三BZ中已被电子占据(zhànjù)的轨道， 依次类推…… 第n BZ的费米面是由这样的边界构成， 它把至少是由n个球所覆盖的区域与n-1个球所覆盖的区域分开利用这种作图方法，一次可得简约区图和周期区图第二十七页，共101页第二十八页，共101页 §2.电子在恒定(héngdìng)磁场下的运动轨道1.电子轨道、空穴轨道和开轨道 （1）电子型轨道第二十九页，共101页(2)空穴(kōnɡ xué)型轨道:第三十页，共101页。

S=2时的二维正方点阵的第一(dìyī)能带的费米面作图如下: 第三十一页，共101页 在周期区图中第一能带的费米面是闭合的,但由能带顶部得到的费米面是空穴型的(角隅上是空轨道),在外加恒定磁场下,在这样的费米面上运动的电子(diànzǐ)表现为好象是带正电的粒子,若此时测霍耳系数,则R>0,表现为正值, 第二能带的费米面在周期区图中是闭合的,它是电子(diànzǐ)型费米面,表现为带负电的粒子, 此时测霍耳系数 R<0 无论是电子(diànzǐ)型还是空穴型，电子(diànzǐ)的运动轨道是闭合的，称之为闭合型轨道 第三十二页，共101页（3）开轨道(guǐdào)第三十三页，共101页 一个三维空间的费米面，电子运动的轨道(guǐdào)类型取决于的方向,因为在费米面上各种轨道(guǐdào)都有,如Cu的费米面, 取不同的方向,电子的轨道(guǐdào)就可能是电子型、空穴型和开放型第三十四页，共101页2．电子在波矢空间中运动(yùndòng)轨道与在真实空间中运动(yùndòng)轨道之间的关系电子在波矢空间中轨道满足：第三十五页，共101页。

若 沿Z方向，用 代表电子在真实空间(kōngjiān)运动的轨道沿磁场方向的投影 为磁场方向的单位矢量， 表示 在 方向的投影，而 表示 在xy平面上的投影由（1）× 得：第三十六页，共101页式中 ，上式的得到(dé dào)利用了把上式对时间t积分后得:式中 是初始位矢, 是波矢初始值第三十七页，共101页 电子运动的轨道垂直于 的方向(fāngxiàng),或电子在与磁场 垂直的轨道上运动(在波矢空间),即 垂直于 , 相当于 绕B转90度第三十八页，共101页 电子在真实空间运动(yùndòng)的轨道在与磁场 相垂直的平面上的投影 就是电子在波矢空间中运动(yùndòng)轨道绕磁场方向转90度, 并且在尺度上要乘以一个因子 这就是电子在真实空间中运动(yùndòng)的轨道与在波矢空间中运动(yùndòng)的轨道之间的关系第三十九页，共101页由此,我们知道了电子在波矢空间中的运动轨道(guǐdào)，就可以推测出其在真实空间的运动轨道(guǐdào)来第四十页，共101页§3.等能面和轨道密度 前面讲的费米面的作图方法也可用于绝缘体或半导体等能面的作图，因为金属的费米面就是等能面之一，自由电子的等能面是一些同心球面，若考虑(kǎolǜ)周期势场的微扰，在区边界上等能面的形状发生改变，远离区边界时近似为球形（与自由电子相同）。

第四十一页，共101页第四十二页，共101页 考虑一个正方点阵，在BZ中心其等能面与自由电子等能面相同，在区边界附近向外突出，第一能带在Kx方向的顶点为A，在Kx=Ky方向的区边界为p，第二能带的能量最低点为B，能带图如下(rúxià)：若能隙较大，无能带交叠，能形成绝缘体，若有能带交叠则形成二价金属第四十三页，共101页第四十四页，共101页 自由电子的态密度是一个抛物线函数，由于等能面在区边界(biānjiè)处外突不再是一个球面，使得在区边界(biānjiè)处单位能量间隔中的面积增大，即单位能量间隔中的状态数增大，也就是态密度增大， 在A点处为最大，当k越过A点后（在周期区图上）能量等值线开始收缩，在P点就缩成一个点，态密度降为零，这是第一BZ的态密度的变化关系，第二能带从B点开始，能量等值线又开始外伸，由此可看出第一、二能带的态密度的变化规律第四十五页，共101页第四十六页，共101页 态密度(mìdù)是可用实验方法测定的，通常用软X-ray发射谱，直接测出态密度(mìdù)曲线，其原理为： 用阴极射线照在晶体上可激发内层电子， 由外层电子填入内层轨道就会发出X-ray。

假定外层价电子能带是填满的，它跃迁到内层能级上时，将发射X-ray，由于价电子是准连续地分布于外层能级上， 发射的X-ray应是准连续的，其发射率与发射强度的关系为： 发射强度∝发射几率×D(ε) 即发射强度与单位能量之间隔的电子数成正比第四十七页，共101页 发射的X-ray的波长越短，越容易观察态密度的变化（如X-ray波长为100A左右），通常用软X-ray（即能量较低的）测定，如对金属钠在某一能量值时D(ε)突然下降[∵金属的价带是半满的，在空轨道(guǐdào)处无电子，故D(ε)下降非常陡峭）而绝缘体的D(ε)是逐渐下降的]第四十八页，共101页第四十九页，共101页§4.紧束缚近似（Tight-Binding）1.紧束缚近似的基本原理 近自由电子模型适用于简单的金属的价电子能带，但对一些过渡金属及半导体、绝缘体，它们的价电子不象金属中价电子那样自由，它们既被束缚于一个原子附近，又有一定的几率在晶体中运动，对于这种结构，用近自由电子模型去处理引起(yǐnqǐ)的误差是很大的，必须利用另一种模型--紧束缚近似第五十页，共101页 当电子紧紧束缚在原子周围时，电子的波函数相应(xiāngyīng)于孤立原子的波函数，将此波函数作为零级波函数，以原子间的互作用作为微扰来处理单电子的Schodinger方程，这种方法称为紧束缚近似法。

实际上紧束缚近似法与近自由电子模型是两个极端模型，紧束缚近似法适用于过渡金属，半导体与绝缘体的能带分析第五十一页，共101页2.TB近似下的电子能谱设晶体中第j个原子的波函数为： ，由此线性组合对j求和(qiú hé)得到晶体中电子的波函数：根据Bloch定理，周期势场中电子的波函数必定是Bloch函数，因此 必定为Bloch函数,系数 的选取必使 满足Bloch定理 当系数：时， 是一个Bloch函数第五十二页，共101页∵第五十三页，共101页根据(gēnjù)微扰论计算一级近似下的能量：第五十四页，共101页为求此积分，把 平移一个(yī ɡè)矢量 ，或令 ， 代表第m个原子相对于第j个原子的位矢，于是第五十五页，共101页于是(yúshì)电子在一级微扰下的能量为： 两次求和可写成m原子的求和的N倍，N是晶体中的原子数即：第五十六页，共101页 能量(néngliàng)决定于位矢相差 的波函数的积分,这个积分称之为交叠积分,一般情况下我们认为只有最近邻原子的波函数才交叠,不是最近邻原子的波函数不交叠, 不交叠时交叠积分为零。

第五十七页，共101页 因此在最近邻近似下，当 m=0时， 表示晶体哈密顿量在原子波函数下的平均值 ,用 代表最近邻原子之间的位置矢量，则令：于是：这就是(jiùshì)紧束缚近似下，并且只考虑最近邻原子的电子波函数交叠时的电子能量第五十八页，共101页 以简单立方晶体为例，对于SC晶体，每个原子(yuánzǐ)有6个最近邻：代入上式可得紧束缚近似下的电子能谱：用三角函数化简得：这就是SC晶体S态电子的紧束缚能带第五十九页，共101页 画出kx方向的能带曲线是一个余弦(yúxián)函数：第六十页，共101页(1)带宽带宽决定(juédìng)于函数的极大值与极小值之差： （在BZ中心） （在BZ顶角上）∴△ε=12 能带的宽度与交叠积分的成正比，不交叠时宽带为零第六十一页，共101页(2)等能面 当 函数是常数时为等能面，由于 函数是三角函数，等能面不再是球面(qiúmiàn)下面我们讨论等能面的形状a. ka《1 （即在区中心的情况） 代入 函数中：式中等能面显然是球面(qiúmiàn)第六十二页，共101页。

b.当 附近(fùjìn)时（即在区边界的顶角上）即把原点移到顶角上，代入 表达式中：第六十三页，共101页利用(lìyòng)：则：第六十四页，共101页 (3)有效质量 （带底） （带顶） 表现为各向同性∴在各向同性条件下的有效质量为：由此看出有效质量与交叠(jiāo dié)积分成正比，第六十五页，共101页对于(duìyú)bcc晶体，在最近邻近似下计算S能级的能带它有8个最近邻,此时 由此可以算出bcc晶体的 函数为:第六十六页，共101页对于fcc晶体(jīngtǐ),每个原子有12个最近邻:第六十七页，共101页 紧束缚近似这种模型与近紧束缚近似这种模型与近自由电子模型一样自由电子模型一样(yīyàng)(yīyàng)是一种极端模型是一种极端模型, , 这两种模型这两种模型适用于不同的材料适用于不同的材料, , 然而对于然而对于一些具体的材料一些具体的材料, , 这两种模型这两种模型都显的太极端了。

要把这两种都显的太极端了要把这两种方法组合起来方法组合起来, , 可产生许多处可产生许多处理能带的方法理能带的方法, , 但无论怎样处但无论怎样处理理, , 电子的波函数必定是电子的波函数必定是BlochBloch函数第六十八页，共101页§5.费米面测量 ----De Haas-Van Alphen效应1.De Haas-Van Alphen效应 1932年De Haas在测量金属Bi单晶的磁化率时发现，Bi单晶的磁化率在低温、强磁场下随静磁场的增加有振荡现象，而且(ér qiě)即使改变磁场的方向也仍能观察到磁化率的振荡现象这种现象称为DHVA效应第六十九页，共101页第七十页，共101页 2.外加磁场下电子轨道的量子化由量子力学可知，在外加恒定磁场下自由电子(zì yóu diàn zǐ)在波矢空间的运动轨道是闭合的（在等能面上运动），且能量是量子化的： 对于Bloch电子，只要沿闭合轨道运动，回旋频率与电子运动的等能面的形状、轨道有关： 回旋周期：第七十一页，共101页第七十二页，共101页 表示电子速度与磁场方向垂直(chuízhí)的分量，积分沿闭合回路积一周， 电子在K空间沿闭合轨道的回旋频率：积分与费米面的形状、轨道的形状有关。

第七十三页，共101页若磁场(cíchǎng) 加在kz方向， 我们考虑在kx、ky方向的 函数的形式，当 =0时，自由电子的函数为： kx、ky分布在 这样一些正方格点上第七十四页，共101页第七十五页，共101页 若沿kz方向加一静磁场,电子沿闭合轨道(guǐdào)运动,能量是量子化的, 电子的能量只能处在这样一些能级上,而不再是波矢空间的 的格点上,这些能级称为磁能级,第七十六页，共101页 每一个磁能级的能量等值面都是圆,只有这些面上的点才是K允许的取值, 磁能级与磁能级之间的状态(zhuàngtài)是不允许的,磁场的作用是把电子的状态(zhuàngtài)束缚在磁能级上,自由电子的磁能级是一系列同心圆,相邻的磁能级之间的能量差为: 第七十七页，共101页 对于Bloch电子在外加磁场下沿波矢空间闭合轨道运动，按量子理论，其能量也应是量子化的，所不同的是对Bloch电子能量量子化后：式中r是一个(yī ɡè)常数（取值在1/2附近，取决于费米面的形状），这些磁能级在波矢空间的形状决定于费米面的形状和势场的的形式，每一个(yī ɡè)磁能级都是能量等值线，外加磁场的作用仍是把电子的状态束缚在磁场能级上。

第七十八页，共101页 特别注意，再外加磁场作用下，波矢空间中允许(yǔnxǔ)的k值要集中到磁能级上去，而不是落在磁能级上的k才允许(yǔnxǔ)的，因为加磁场或不加磁场k空间的总的状态数是不变的这些点在k空间各磁能级上的分布是非常密集的，每个磁能级是一条能量等值线第七十九页，共101页(1)能量(néngliàng)相差 的两条能量(néngliàng)等值线之间的能量(néngliàng)差：第八十页，共101页 是垂直于能量等值线的波矢改变，即能量从 之间的波矢变化对于二维情况 是在x.y平面上电子的速度分量，即与磁场垂直的速度分量，两个(liǎnɡ ɡè)能量等值线之间的面积：第八十一页，共101页而 或写为：这个(zhè ge)电子回旋频率的公式是很有用的第八十二页，共101页把上面的公式变形可得：这就是(jiùshì)Onsages的著名结论上式说明电子沿闭合轨道运动，其能量是量子化的，能量以 为单位量子化，则波矢空间中电子回旋轨道的面积以 为单位量子化即：第八十三页，共101页 磁能级在 k空间是能量等值线,随外加磁场增大,磁能级的能量等值线围的面积(miàn jī)S也增大,相邻的两个磁能级夹的面积(miàn jī)为2πeB/ch,随磁场增大,此面积(miàn jī)也越大,由此可看出磁能级夹的面积(miàn jī)与量子数无关,随 增大,相应的能级要拉开(相邻的能级间的能量差增大),磁能级在K空间扩展，相邻的磁能级之间夹的面积(miàn jī)也越来越大。

第八十四页，共101页（２）磁能级的简并度　在周期性边界条件下，波矢空间每个k占有的面积 ，波矢空间中相邻的二个磁能级之间的面积为2πeB/ch,外加(wàijiā)磁场后，电子的轨道都分布在磁能级上，则轨道数为：第八十五页，共101页 D是不考虑自旋时的磁能级的简并度，ρ为比例系数 上式说明每一个磁能级上布居的状态数与量子数无关，只与磁场(cíchǎng)成正比，若外加磁场(cíchǎng)由弱到强增大，每一个磁能级包围的面积都增大，每一个磁能级上的状态数也增大，磁能级的简并度也随 的增大而增大第八十六页，共101页（３）费米(fèi mǐ)面的情况磁能级是能量等值线，费米(fèi mǐ)面也是能量等值面，当磁场增强时，磁能级一个个向外扩展，若等于某个值时，使得第n+1个磁能级刚好与费米(fèi mǐ)面重合，此时的磁场记为 ，同时磁能级包围的面积为 第八十七页，共101页当 时， 与费米面面积相等当 继续增强，要超出费米面，而第 个磁能级又要扩展到费米面附近，将接触到费米面，此时的磁场(cíchǎng)为 当 与费米面重合时。

第八十八页，共101页 磁能级一个个向外扩展，到费米面又脱离费米面，磁能级上升到费米面到脱离费米面的磁场变化的倒数的周期应满足：　这是相邻的两个磁能级依次(yīcì)上升到费米面又脱离费米面时磁场的变化应满足的关系第八十九页，共101页 只要磁场的改变量 下一个磁能级(néngjí)又上升到费米面上……表现为一个周期现象，当外加磁场 增大时，相邻的磁能级(néngjí)由接触到脱离费米面由决定第九十页，共101页３.振荡(zhèndàng)的产生：第九十一页，共101页 每当磁能级上升到费米面上将脱未脱之时，系统的能量最高，而上升的电子数与下降的电子数相同时系统的能量最低，系统的能量呈周期(zhōuqī)性振荡，振荡的周期(zhōuqī)就是一个磁能级上升到费米面的周期(zhōuqī)　第九十二页，共101页 磁化率随 的增大而振荡，是由于在磁场中电子能量量子化的结果,磁能级在K空间(kōngjiān)包围的面积也是量子化的，磁能级扩展的周期性变化导致了磁化率作周期性振荡第九十三页，共101页４.极值轨道 从数学上可以(kěyǐ)证明对振荡周期真正有贡献的轨道是极大值和极小值轨道，不大不小的哪些轨道对振荡周期无贡献，振荡周期将是极大值轨道和极小值轨道振荡周期的叠加。

第九十四页，共101页若 也在变化(biànhuà)，则：以上是对自由电子而言　 取边界条件允许的所有值，由两个量子数n和 决定，当n一定时， 取边界条件允许的值，此时的磁能级成为管状的，称为朗道管，这个管在平面上的截面是一个圆，朗道管上的电子不一定有相同的能量,朗道管本身不是等能面第九十五页，共101页第九十六页，共101页第九十七页，共101页第九十八页，共101页5.实际金属的费米面 DHVA效应的实验(shíyàn)条件是强磁场,超低温,高纯度单晶试样,这是为了保证在驰豫时间范围内电子要来得及在轨道上回旋一周,即 第九十九页，共101页 Cu.Ag.Au Cu.Ag.Au的费米面是第一的费米面是第一BZBZ中的畸变球中的畸变球, ,当电子浓度时当电子浓度时, ,可算出自由电子的费米波矢可算出自由电子的费米波矢 Cu.Ag.Au Cu.Ag.Au都是都是fccfcc点阵结构点阵结构, ,倒易点阵是倒易点阵是bccbcc点阵点阵, ,在在k k空空间间(kōngjiān)(kōngjiān)沿沿(111)(111)方向是最短的方向是最短的, ,即第一即第一BZBZ的内切球直的内切球直径为径为: : 两个四边形面之间的距为两个四边形面之间的距为12.57/a>9.80/a,12.57/a>9.80/a,沿不同方向加沿不同方向加磁场磁场, ,利用利用DHVADHVA效应测极值轨道便可绘出费米面。

效应测极值轨道便可绘出费米面 第一百页，共101页 内容提要内容提要(nèi (nèi rónɡ tí yào)rónɡ tí yào)1. 1. 费米面费米面2.2.紧束缚近似紧束缚近似 3. De Haas-Van Alphen3. De Haas-Van Alphen效效应应第一百零一页，共101页。