2024年中考数学复习之题型全归纳解三角形(解析版).pdf

解三角形【专题目录】技 巧 1：解直角三角形的五种常见类型技巧2：求锐角三角函数值的常用方法技巧3:“化斜为直”构造直角三角形的方法技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型【题型】一、锐角三角函数的定义【题型】二、利用正弦的相关知识求解【题型】三、利用余弦的相关知识求解【题型】四、利用正切的相关知识求解【题型】五、特殊角的三角函数值【题型】六、解直角三角形【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题【考纲要求】1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形.2,掌握特殊锐角（3045,60的三角函数值，并会进行计算.3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算.4.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形锐角三角函数在 RtAABC中，N C 为直角，则N A 的锐角三角函数为（/A 可换成NB）定 义表达式取值范围关 系正弦.乙4的对边sin A=-斜边sin/=c0 sin 4 1（/A为锐角）sin 4=cos 5cos A-sin 5sin2 A+cos2 A=1余弦,乙4的邻边cos A=-斜边,bcos A-c0 cosA 0锐角角形函数与解直角角形切(N A为锐角)l.sinA、形)。

2.sinA、cosA是一个比值(数值，无 单 位)3.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，N A是锐角(注意数形结合，构造直角三角cosA的大小只与N A的大小有关，而与直角三角形的边长无关特殊角的三角函数值直角三角形的边角关系解直角三角形的几种类型及解法在 R ta/B C 中，Z C =90,NA,AB,/C 的对边分别为 a,b,C.三角函数304560sin aj_T2正 TCOS DH=CD-si/DCH=4*s%60=25(m).D H,1B G,又易知NG=3014c DH 23,、.HG=-=-=6(m).tan G tan 30CG=CH+HG=2+6=8(冽).设 AB=xm,/A B IB G,ZG=30,ZBCA=45,/.BC=x m,BG=AB=m.tan G tan 30,BG-BC=CG,.3x-x=8.解得x-ll.答：电线杆的高约为11加3 .解：(1)如图,过点 C 作 CELBD 于点 E,则有/D C E=18Z BCE=20,mmmmDmmmmBAZBCD=ZDCE+ZBCE=180+20=38.(2)由题意得，CE=AB=30m,在 J?rACBE 中，BE=CE tan 20,在 RtACDE 中，DE=CE-tan 18,/.教学楼的高 BD=BE+DE=CE tan 20+CE-tan 1820.4(m).答：教学楼的高约为20.4九4 .解：设每层楼高为X M,由题意得MC=M C-C C =2.5-L 5=1(M),贝 lj DC=(5x+l)m,EC=(4x+l)m.在此DCA，中，Z DAV=60,.C A，=DC=*5 x+i).tan 600 3在 心 ECB，中，ZEB V =30,.CB，=EC，=3(4x+i)m.tan 30,.A B =C E-C A，=AB,.3(4x+l)-；(5x+1)=14.解得 x-3.18./.DC=DC+CC=5x+1 +1.5=18.4(.答：居民楼的高度约为18.4冽.【题型讲解】【题型】一、锐角三角函数的定义例1、在中，乙4=90,AB=6,BC=1 Q,那么下列结论正确的是（）c 4A.tan C=3【答案】D4.3 4B.cot C=C,sin C D.cos C=5 4 5【分析】先根据勾股定理解出A B,再逐项根据三角函数的定义判断即可.【详解】根据勾股定理可得：AC=BC2-A B1=8，【点睛】厂 AB则 tan C=-=AC故选：D.3 AC 4.八 AB 3 AC 4=一；cotC=-=；sinC=:cos C=-=；4 AB 3 BC 5 BC 5本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键.【题型】二、利用正弦的相关知识求解例 2、如图，在 R ta A C B 中，ZC=90,sinB=0.5,若 NC=6,则 5C 的 长 为（）A.8 B.12 C.673 D.1273【答案】C【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.AT【详解】解:VsinB=0.5,AB/.AB=2AC,/AC=6,/.AB=12,-BC=AB2-A C2=6A/3,故选C.【题型】三、利用余弦的相关知识求解3例 3、在 放 A A 8 c中，乙C=9 0 ,如果ZC =3,cosZ=,那 么 4 5 的 长 为（）一 49,25A.B.4 C.5 D.44【答案】B【分析】根据cosA=-=即可得出A B的值AB 4【详解】解：在 RtZxABC 中，ZC=90,AC=3,又：cosAA =-A-C-=3,AB 4.AB=4故选：B.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.【题型】四、利用正切的相关知识求解例 4、如图，在A B C 中，ZC=9 0 ,设AB,/C 所对的边分别为a,b,c,贝 4（)csinS【答案】BC.a=btanBD.b=ctanS【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.【详解】.1 A B C 中，Z C =9 0 ,乙4、D B、NC所对的边分别为a、b、csinB =,即6=c s in B,则 A 选项不成立，B 选项成立ctan 8 =2,即6=a ta n B,则 C、D 选项均不成立a故选：B.【题型】五、特殊角的三角函数值例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0 O,则4 0 :45 =()A.2V L 3 B.血：百 C.V3：V2 D.73:272【答案】B【提示】过点0作(W，,O N L A D,设圆的半径为r,根据垂径定理可得AOBM与AODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果.【详解】如图，过点0作(W i ,O N L A D,设圆的半径为r,.OBM与aODN是直角三角形，O D =O B =r,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0(9,.Z 0 B M=30，/办=ZZZ7V=45,g DV=GDt an 45=-r-W=6 c o s 30=-r 2 2A D =2Z3V=yfir B C =A D:A B =V2r:板=收:百.故答案选B.【题型】六、解直角三角形例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心点为点8,塔身中心线4 8与垂直中心线/C的夹角为乙4,过点3向垂直中心线N C引垂线，垂足为点Z .通过测量可得45、B D、4D的长度，利用测量所得的数据计算N N 的三角函数值，进而可求N N 的大小.下列关系式正确的是（）A.s in八也AB,AB,A D .“A DB.cos A=-C.tan A=-D.s in 4 =-A D B D AB【提示】确定N Z所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解;【详解】由题可知，A A B D是直角三角形，A B D A =9 0 ,.“B D ,A D ,B Ds in A-.c o s 7 i=-,t a n A-AB A B A D二.选项B、C、D都是错误的，故答案选A.【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度48,在观测点。

处测得大桥主架顶端/的 仰 角 为3 0测得大桥主架与水面交汇点3的俯角为1 4,观测点与大桥主架的水平距离以为6 0米，且Z2垂直于桥面.（点4民 在 同 一 平 面 内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度4W；（结果保留根号）（2）求 大 桥 主 架 在 水 面 以 上 的 高 度（结果精确到1米）（参考数据 s in 1 40.24,c o s 1 4 8 0.9 7,t a n l 4 8 0.25,7 3）【答案】大桥主架在桥面以上的高度4W为20百 米；大桥主架在水面以上的高度N 3约为50米.【提示】(1)在 RtAACM中，根据锐角三角函数求出AM 的长度.(2)在 R tBC M 中，求出BM 的长度，再求出A B 的长度即可.【详解】解：(1)Q 4 8 垂直于桥面ZAMC=ZBMC=90在 中，CM=60,ZACM=30 AM.tan 乙4 cAz=-CM巧AM=tan30-CM=6Qx =2073（米）3答：大桥主架在桥面以上的高度AM为2 0 G 米.B 水面（2）在 RtZiBMC 中，CM=6Q,ZBCM=14.f MB.tan ZBCM=-CMMB=tanl4-CM=60 x0,25 工 15：AB=AM+MB5=15+2073-50（米）答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米.解三角形(达标训练)一、单选题1.如图，在次NBC中，ZC=90,AC=3,BC=4,将 绕 点/逆 时 针 旋 转 得 到 4 8 C,使点C落在AB边上，连结区8 ,则COS/83C的 值 为（）.3 n 4 V5 2A/55 5 5 5【答案】C【分析】在必4 8 C 中，由勾股定理可得43=5.根 据 旋 转 性 质 可 得=/C=3,CP=CB=4,C 3=2.利用勾股定理可求出2 8，从而求出cosZBBC.【详解】解：在瓦/B C 中，AB=y)AC2+BC2=5,由旋转旋转性质可得/C =/C=3,CB=CB=4,：.CB=AB-AC=2,BB=CB2+CB2=2y/5,./R _ C B _ 2 _V5.cos 4B B C-产-.BB 2#5故答案为：C.【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.2.2sin 45。

的 值 等 于（）A.旦 B.心 C.1 D.V22 3【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.【详解】解:2sin45=2x =V2.2故选：D.【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.3.如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点/处测得起点8 的仰角为35底端点C 与顶端点3 的距离为50米，则 赛 道 的 长 度 为（）米.50cos35【答 案】C50sin 35D.50cos35【分 析】根据锐角三角函数即可解决问题.【详 解】解：在 放zx/B C中,2=35,550 米,sin35=AB：.AB=50sin 35（米）.故 选：C.【点 睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键.4.2 tan30的 值 等 于（）A.V3 B,亟 C.3 2【答 案】B【分 析】tan30o=立，代入式子即可.3【详 解】tan30=3，3则 2 tan 30=3 8,3故 选B.D._2【点 睛】本体考查了锐角三角函数值相关计算，比较简单，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键.5.如图，点/为N 4边上的任意一点，作ZC 15C于 点C,CD 1/5于 点。

下列用线段比表示tan的值,错 误 的 是（）ABACBCCDA.-BDCD ADD.-AC-CD【答案】C【分析】根据/CL BC,CD L A B,可得N/+N a=90 ZCD+Z =9 0,从而得/C D=N a,再根据正切的定义，即可求解.【详解】解：-：AC iB C,CD LAB,：.Z ACB=Z BDC=Z ADC=,：.A A+a=90ZACD+ZA=90,Z ACD=Z.a,AC CD 陋/.tan a=,tan,=CDtanZC=V3x=1 ,3SACE=；AC DE=；x 2G x 1=6 ,如图所示，过点8 作A F/N C,交/C 于点凡V AB=A C ,A C =2y/3,BF=5Csin30=273 x1=73,二%族=；小 时=3 2A/3X 6=3,一 SX BAE=SABC-S。