支配方程式及边界条件.pdf

6.16.1 支配方程式及邊界條件 支配方程式及邊界條件 (1) (1) 理想流體的微小振幅波運動 非粘性非壓縮性之理想流體內，在靜水面上取座標原點o，水平向右及 垂直向上方向取x及z軸，時間及重力加速度以t及g表示，令入射波為振幅oζ、週頻率σ（=2π/T；T為波之週期）之簡諧波，則流體運動之微小振幅波速度勢可以ζφσσΦog(x,z;t)=( , ) exp()x zi t表示 (Ⅰ) 支配方程式 勢函數( , )x zφ應為滿足下列 Laplace 方程式之函數 22220xzφφ∂∂+=∂∂(6.1) 水平及垂直方向之流速u，w；流體壓力p；水面波形ζ在當流體密度為 ρ時，可以下式表示 σσφφφρζζζφ∂⎫=⎪∂⎪∂⎪=⎪∂⎬ ⎪= −⎪ ⎪ ⎪= −⎭00( , )/( ,0)i ti tuxwz pix z egixe(6.2) (Ⅱ)自由表面上之邊界條件 在水面上，由於運動學條件及大氣壓力一定之條件可得 (2 0zzgφσφ∂)==∂(6.3) (Ⅲ)固定不透水面之邊界條件 在固定不透水面上，由於流體在法線方向之流速為零而得 (0nn)φ∂==∂法線方向 (6.4) (Ⅳ)無限遠處之放射條件（radiation condition） 在無限遠之2維Sommerfeld放射條件如下 φφ∂∂= ±∂∂1 xct, (6.5) x → ±∞或 φφ∂= ±∂ikx, (6.6) x → ±∞(2) 空隙物質內的微小振幅波運動 (Ⅰ) 支配方程式 透水性防波堤或護岸等空隙物質內之波運動，假定受與加速度成正比， 及與流速有關之抵抗作用時，將前者之影響包含於空隙物質之空隙率內而稱 之為假想空隙率V，將後者視為與流速成正比，其係數以μ表示。

空隙內流體領域之局部空間之平均水平及垂直方向流速以及*u*w表示，流體壓力及密度以*p及ρ表示，則連續方程式可以下式表示 ∂∂+=∂∂**0uw xz(6.7) x及z方向之運動方程式可分別以下式表示 µ ρµ ρ∂∂⎫= −−⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪= −−−⎪∂∂⎭** *** *11uputxVwpwgtzV(6.8) 依(6.7)及(6.8)式所示之流體運動具有速度勢 ζφσσΦo **g(x,z;t)=( , ) exp()x zi t (6.9) *( , )x zφ滿足下列之 Laplace 方程式 φφ∂∂+=∂∂22 ** 220xz(6.10) 流速，壓力及水面波形可分別以下式表示 σσφφβφρζζβφζαµβασ= ∂∂= ∂∂ ⎫ ⎪ ⎪= −⎪⎪⎬= −⎪ ⎪ ⎪==−⎪⎭，，，***** * 0* * 0,()()1i ti tux wpix z egix o eiVz(6.11) (Ⅱ)自由表面上之邊界條件 在水面上，由於大氣壓力一定及運動學條件得 *1 tVz*ζφ∂∂=∂∂(6.12) 由上式得 2 * *zgφσαφ∂=∂(6.13) (Ⅲ)固定不透水面上之邊界條件 *0nφ∂=∂(6.14) (3) 理想流體領域與空隙物質流體領域相接邊界之邊界條件 理想流體領域流體運動的勢函數以φ，空隙物質流體領域流體運動的勢 函數以φ∗表示時 ， 在理想流體領域與空隙物質流體領域相接邊界面上因為兩 者的流體運動引起的質量流束(mass flux)及能量流束(energy flux)必須連 續的條件而得 φφ=*(6.15) βφ=*φ (6.16) (4) 浮體表面的邊界條件 浮體在水面或水中受微小振幅波運動，其勢函數為φ，作微小定常自由 浮體運動或被張緊的繫留索繫留，靜止時重心位置在0(,)oxz，浮心位置在 (,)bbxz，達平衡狀態時移至(,若浮體運動的水平、垂直及回轉角振 )ooxz 幅為ξ、η及ω(以逆時針方向為正)，兩者間的關係右 00i t oi t oi txxezzeeσσσξηδω⎫=+⎪⎪=+⎬ ⎪=⎪⎭(6.17) 在浮體表面浮體運動與水粒子運動必須連續得 ()()σξηωφζζζ⎧⎫⎡⎤=−−−+−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭2oo ooodzdxdxdzixxzzgdsdsdsds(6.18) 上式中，(x,z)表示浮體表面的座標，s為沿表面的積分路線。

浮體作自由浮體運動或被張緊的繫留索繫留時的運動，不考量繫留索運動 對慣性質量和流體抵抗的影響時，作用於浮體的作用力如下 222222o xxo zszsd xMPFdt d zMPPFdt dITTMdtθθδ⎫=+θ⎪ ⎪ ⎪=++⎬ ⎪ ⎪=++⎪⎭(6.19) M為浮體質量，Iθ為對重心的慣性力矩，、及xPzPTθ為流體壓力作用於浮體 的x、z方向分力及對重心的力矩，及為靜水壓的z方向復原力(restoring force)及復原力矩 sPsT流體密度為ρ時，作用於浮體的流體力、及xPzPTθ為 ()()σσσ θρζφρζφρζφ⎫∂= −⎪∂⎪ ⎪∂⎪= −⎬∂⎪ ⎪∂∂⎡⎤⎪= −−−−⎢⎥∂∂⎪⎣⎦⎭∫∫∫i t xo si t zo si t ooo sxPigedsnzPigedsnzxTigexxzzdsnn(6.20) 浮體在靜水面的長度為2時，及為 o?sPsT()σσρηρω⎫= − ⎪⎡⎤⎬= −−−⎢⎥⎪⎣⎦⎭??323 2i t soi to soPgeTgVzzeV(6.21) V為浮體的水中部份的體積 xF、及zFMθ為浮體運動引起的繫留力及力矩，其作用力的大小隨浮體形 狀、繫留索的特性及配置方式而異，針對兩條繫留索繫留於及， 繫留角度為與水平軸呈11(,)ooa b22(,)ooab1β及2β，繫留索的彈性係數為oK，繫留索的水平、垂 直方向的反力及力矩分別為1 xxK、1 zxK、1 xKθ；1 xzK、1 zzK、1 zKθ；1 xKθ、1 zKθ、1Kθθ；2 xxK、2 zxK、2 xKθ；2 xzK、2 zKθ、2 xKθ；2 zzK、2 zKθ、2Kθθ時，、及xFzFMθ為 ()()()()()1212121212i t xxxxxxxi t zzzzzi t xxFKKKKeFKKeMKKKKeσ θθσσ θθθθθθθξωξω⎫⎡⎤= −+−+⎣⎦⎪⎪= −+⎬ ⎪⎡⎤= −+−+⎪⎣⎦⎭(6.22) 1222 121222 122 12212 12122212 12cos,cossin,sincos,coscos,cosoo xxxxoo zzzzoooo xxKKKKgg KKKKggK SK SKKggK SK SKKggθθθθθθββρρβρρ22βββρρββρρ⎫==⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎬ ⎪==⎪ ⎪ ⎪==⎪⎭(6.23) ()()11 122 22tantanooooooooSbzaxSbzaxβ1β⎫=−−−⎪⎬=−−−⎪⎭(6.24) 將(6.17)、(6.20)~(6.22)式及代入(6.19)式得 ()(){}()(){}θθθξφαζγηφζαωφααζγ⎫⎡⎤=−+−−⎪⎣⎦⎪ ⎪⎪=⎬ ⎪ ⎪⎡⎤=−+−−⎪⎣⎦⎪⎭∫∫∫3211( , )( , )( , )xoxososoooxsoix zKxxdxKzzdzix z dxix zxxdxzzKdz(6.25) ()()()()2 12 12 12 202 12 3221 13,2,,,xxxxxxxxzzzzzzzzxxxKMKKKgKMKKKgKIKKKgKKKKθθθθθθθθθθθθθσασασαγα α⎫=−=+2 x⎪ ⎪ ⎪=−+=+⎪⎪ ⎬ ⎪ =−=+⎪ ⎪ ⎪=−=+⎪⎭?(6.26) 將(6.24)式代入(6.18)式，得浮體表面上的φ與φ間的關係式，以矩陣形 式表示如下 { }{ }φφ= ⎡ ⎤⎣ ⎦T (6.27) ()()γ=−++12341ijijijjijijjtttdxttdz(6.28) ()()() ()()()()() (){}θθθθα αγαγααα⎫⎡⎤⎛⎞=+−−⎪⎢⎥ ⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎪ ⎪⎛⎞⎡⎤⎪=−−−⎜⎟⎣⎦⎪⎝⎠⎬⎛⎞⎪⎡⎤=−−−⎜⎟⎪⎣⎦⎝⎠⎪ ⎪⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−−−−−−⎜⎟ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎠⎭1122 13 14 3111ijjoio iijxiojo iijjoxio iijxioxiojo idxtxxxxdsdztKzzxxdsdxtzzKxxdsdztKzzKzzzzds(6.29) 。