2012北京考研数学二真题及答案.docx

2012北京考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】： 所以（3）设an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.【答案】：(A)【解析】：由于，则为正项级数，Sn=a1+a2+…an为正项级数的前项和正项级数前项和有界与正向级数收敛是充要条件故选A（4）设 sinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1< I2 0,<0,f(x1,y1) x2, y1< y2. (B) x1> x2, y1>y1.(C) x1< x2, y1< y2. (D) x1< x2, y1> y2.【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。

因此，当必有，故选D（6）设区域D由曲线围成，则【答案】：（D）【解析】： 由二重积分的区域对称性，（7）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关故选（C）（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设是由方程所确定的隐函数，则________答案】：【解析】：方程两端对求导，有，所以（10）计算________答案】：【解析】：原式（11）设,其中函数可微，则________答案】：.【解析】：因为，所以（12）微分方程满足初始条件=1的解为________答案】：【解析】：为一阶线性微分方程，所以又因为时，解得，故.（13）曲线上曲率为的点的坐标是________答案】：【解析】：将代入曲率计算公式，有整理有，解得，又，所以，这时，故该点坐标为（14）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则________。

答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知函数，记（1）求的值（2）若当时，是的同阶无穷小，求【解析】：（1），即（2）,当时，由又因为,当时，与等价，故，即（16）（本题满分10分）求的极值解析】：，先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.（17）（本题满分10分）过点（0，1）点作曲线L：的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积解析】：设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为：切线与轴交点为yY=lnxA（0,1） xB（1）（2）（18）（本题满分10分）计算二重积分，其中区域D为曲线与极轴围成解析】： （19）（本题满分11分）已知函数满足方程及1）求表达式2）求曲线的拐点【解析】：1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。

故2）曲线方程为，则，令得为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号当时，，可知；当时，，可知可知是唯一的解同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点20）（本题满分10分）证明：【解析】：令，可得当时，有，，所以，故，而，即得所以当，有，，所以，故，即得可知，（21）（本题满分11分）（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限解析】： (1)由题意得：令，则，再由，由零点定理得在肯定有解，假设在此区间还有另外一根，所以，由归纳法得到，即唯一性得证（2）假设根为，即，所以，由于，可知，由于，可知又由于，也即是单调的则由单调有界收敛定理可知收敛，假设，可知当时，（22）（本题满分11分）设，（Ⅰ）求（Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解解析】：（Ⅰ）（Ⅱ）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（23）（本题满分11分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。

1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程解析】：1）由可得，2） 则矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，，。