与中垂线有关的问题.pdf

1 - 与中垂线有关的问题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.逆定理：到线段两端距离相等的点段中垂线上.1的证明，利用了全等三角形，2 的证明利用等腰三角形的“三线合一”的性质. 【重点难点解析】例 1已知△ ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图 1）.求证 l1,l2,l3三线共点 . 图 1 例 2若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形图 2 例 3如图 3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂线交 AB于 D，BC于 F. 则 BCBE= . - 2 - 例 4如图 4，AD为△ABC的角平分线， AD的中垂线交 AB于 E，BC延长线于 F，求证∠ CAF= ∠B. 图 4 【难题巧解点拨】例 1 △A BC中，∠ A=90°,AB=AC,D 、E、F分别在 AB，AC，BC上，且 AD=AE ，CD为 EF中垂线，求证 BF=2AD( 图 5). 图 5 例 2 如图 6，AD为△ABC的高，∠ B=2∠C，BD=5，BC=20 ，求 AB. 图 6 【同步达纲练习】一、 判断( )1.三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内. ( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点. ( )4.四边形 ABCD 中共有一点 P，使 PA=PB=PC=PD，则∠ A+∠C=180 °. ( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点. ( )6.和线段两端相等的点不一定段上. - 3 - 二、选择题1. 到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中垂线的交点2. 线段 AB外有两点 C ， D(在 AB同侧) 使 CA=CB ， DA=DB ， ∠ADB=80 °, ∠CAD=10 °,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120°3.BD为 CE的中垂线， A在 CB延长线上，∠ C=34 °, 则∠ABE=( ) A.17° B.34° C.68° D.136°4.O 为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心5. 若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( ) A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形图 7 6. △ABC 中，∠ACB=90 °, ∠A=30°AC的中垂线交 AC于 E.交 AB于 D ，(图 7)则图中 60°的角共有 ( ) A．6 个 B.5个 C.4个 D3个三、填空1. △ABC中，AB=AC ，P 为形内一点， PB=PC ，则 P 在的中垂线上， P还在∠的平分线上 . 2. △ABC 中，AB=AC=14 ，腰 AB的中垂线交 AC于 D，△BCD周长为 4cm,则 BC= . 3. △ABC 中，AB=AC ，∠A=120 °,AB 中垂线交 BC于 E，则 BCBE= . 4. 正△ABC内一点 O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= . 5. △ ABC的边 AC 、BC的中垂线交于 AB上一点 O ，且 OC=BC，则∠ A= . 6. 若 PA=PB ，DA=DB ，则 PD是 AB的 . 四、解答1. △ABC 中，∠ C=90 °,AB 的中垂线交 AB于 D ，AC于 E.且∠EBC=40 °, 求∠A及∠BED 的度数 . - 4 - 2.已知 O为等边三角形三边中线交点，求证BO与 CO的中垂线必三等分BC. 【素质优化训练】1.AD为△ABC的角平分线， DE∥AC,交 AB于 E.过 E作 AD的垂线交 BC延长线于F(图 8),求证21（∠BAC+ ∠AFC ）=90°-∠B. 2.如图 9，△ABC中，AB=AC ，AE ∥BC,D为直线 AE上任一点 .求证 DB+DC＞2AB. 【拓展训练】例 1：如图 1，在△ ABC中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC于点 E ，△BCE的周长等于50，求 BC的长 . 点评 ： 此题是△ ABC中一边 AB的垂直平分线AC相交 ;那么当 AB 的垂直平分线与BC相交时，(如图 2),对应的是△ ACE的周长，它的周长也等于AC+BC. 图形变化，但结论不变. 变式 1：如图 1， 在△ ABC中， AB的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC于点 E ，若∠ BEC=70 °，则∠ A= .变式 2：如图 3，在 Rt△ ABC中， AB 的垂直平分线交BC边于点 E。

若 BE=2，∠ B =15°求： AC的长BCAEDABCDE图 2 - 5 - 例 2:如图 5，在△ ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120° ,AB 的垂直平分线交BC边于点 E, AC的垂直平分线交BC边于点 N. (1) 求△ AEN的周长 . (2) 求∠ EAN的度数 . (3) 判断△ AEN的形状 . 变式 1: 如图 6，在△ ABC中， AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC边于点 E, AC的垂直平分线交BC边于点 N. (1) 求△ AEN的周长 . (2) 求∠ EAN的度数 . (3) 判断△ AEN的形状 . 变式 2: 如图 7，在△ ABC中， BC=12, ∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点 E, AC 的垂直平分线交BC边于点 N. (1) 求△ AEN的周长 . (2) 求∠ EAN的度数 . 【课后练习】1、如图，已知：AB=BC=14 ㎝， DE垂直平分AB，交 BC于 E ，AC=8㎝求△ AEC的周长AEDCB图 3 ABCDEMNABCDEMNNEMDAB CEDCBA- 6 - 2、如图，已知：在△ABC中，∠ C=90°，∠ B=22.5°， DE垂直平分AB，BD=8。

求 AC的长3、如图，已知AD 是∠ BAC的平分线， DE⊥AC于 E，DF⊥AB 于 F求证： AD⊥EF 4、如图，已知△ABC中，∠ C=90°， AD 平分∠ BAC ，BC=20，BD:CD=5:3，求点 D 到 AB 的距离5、如图，已知：AB∥CD，BE、CF分别是∠ ABC、∠ BCD的平分线， EF垂直平分 BC求证：BE =CF 7、如图，已知△ABC中，∠ ABC 的平分线与AC 的中垂线相交于点N， ND⊥AB 于 D，NE⊥BC于 E求证： AD=CE 8、如图，已知△ABC中，∠ ABC=90°， AD 平分∠ BAC ，BE⊥AC于 E ，BE∥DF，EF =1求点F到的 BC距离NMEDCBAFEDCBADCBAF EDCBAGFEDCBAEDCBA。