正方形测试题定稿.doc

正方形测试题【问题导引】1．你知道正方形的概念吗？你知道正方形作为特殊的平行四边形，它的特殊点在哪儿吗？2．你知道正方形的性质与判定吗？你能利用它的性质与判定进行计算与证明吗？一、填空题1．（1）已知正方形的边长为10㎝，则其对角线长为 ㎝，面积为 cm2；（2）已知正方形的对角线长为6，则这个正方形的周长是____________，面积是_________.2．P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，若AD＝4，则点P到AB、BC的距离之和为________.ADCBMNPQADBCPO3．如图1所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______.EDCB　　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3　　　　　　　　图44．如图2所示，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP＝________.5．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是 ．6．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是__________.7．若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．8．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC，分别交AB，CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是___________.9．如图4所示，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．NMFEDCBA10．如图5所示．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．ADCEFBADCBE　　　　图5　　　　　　　　　图6　　　　　　　　　　　图7二、选择题11．在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE与CD交于点F，则∠AFC是（　　）A.112.5°　　　　　　B.120°　　　　　　C.135°　　　　　D.150°12．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC、BD相交于点O，则△ABO的周长是（　　）A.12＋12　　　　　　　B.12＋6　　　　　　C.12＋　　　　　D.24＋613．如图6所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ）A．1对 　　　　　　　B．2对 　　　　　 C．3对 　　　　D．4对14．下列说法不正确的是（　　）A.有一个角是直角的菱形是正方形　　　　　　B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形　　　　　　D.四条边都相等的四边形是正方形15．四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定此四边形是正方形的有（　　）①AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD；②AD∥BC，∠A＝∠C；③AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC；④AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.A.1个　　　　　　　　　B.2个　　　　　　　　C.3个　　　　　　　　D.4个16．如图7所示，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．3cm 　　　　　　　　B．4cm 　　　　　 C．5cm 　　　　　 D．6cm17．如图8所示，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）A．2 　　　　　　B．3 　　　　 C． 　　 D．　　　图8A．B．C．D．18．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（　　）19．如图9，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为（　　）ADCBGFEA．仅小明对 　　　　　　B．仅小亮对 　　　C．两人都对 　　　D．两人都不对 　　图9　　　　　　　　　　　图1020．如图10所示，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）A.S＝2　　　　　　　B.S＝2.4　　　　　　　C.S＝4　　　　　D.S与BE长度有关三、解答题EBCGDFA21．如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连结CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连结DG．求证：△CBE≌△CDG.BACDEF22．如图所示，正方形ABCD外有一点E，且AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，试求∠AFB的度数.DCBEAF23．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形. 24．如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． ADEFCGB（1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DE＝EF＋FB．25．如图，已知□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形.（1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.AECBDO（2）若∠AED＝2∠EAD，请说明四边形ABCD是正方形.26．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？AFNDCBMEO四、拓展题27．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．参考答案：1．（1）10，100（2）3，18　2．4　3．24　4．22.5°　5．正方形（对角线互相垂直的四边形均可）　6．AD＝BC或BC＝CD或CD＝DA或DA＝AB　7．或　8．8　9．B　4n＋3．10．11．A　12．A　13．C　14．D　15．A　16．C　17．C　18．D　19．C　20．A　21．证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE＝90°－∠DCE，∠DCG＝90°－∠DCE，∴∠BCE＝∠DCG，∴△CBE≌△CDG.22．∵AD＝AE，∠ADE＝75，∴∠AED＝75°，则∠DAE＝30°，∴∠BAE＝120°，又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴∠AFB＝60°.23．（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴△BED≌△CFD.（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形.∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，∴四边形DFAE为正方形.24．（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠AFB＝90°． ∵ABCD是正方形，DE⊥AG， ∴∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE． 又在正方形ABCD中，AB＝AD．在△ABF与△DAE 中，∠AFB＝∠DEA＝90°，∠BAF＝∠ADE ，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE．（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF． 又AF＝AE＋EF，∴AF＝EF＋FB，∴DE＝EF＋FB．25．（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝∠EAC＝60°，∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAC－∠EAD＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴四边形ABCD是正方形.26．解（1）OE＝OF．其证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2，∵MN∥BC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OE＝OC，同理可证OC＝OF，∴OE＝OF；（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3）当点O运动到AC中点时，OE＝OF，OA＝OC，则四边形AECF为矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC，∵EF∥BC，∴AC⊥BC，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．27．解：（1）正确．ADFCGEBM证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME，如图所示．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝4°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CE。