第五讲：全微分方程课件.ppt

第五讲第五讲 全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子三、积分因子法一、全微分方程与原函数二、全微分方程判定定理与不定积分法四、小结1 定义定义:即即若若例如例如全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程是全微分方程，是全微分方程，一、全微分方程与原函数的左端恰好是某个二元函数的全微分，的左端恰好是某个二元函数的全微分，则称（则称（1）为全微分方程或恰当方程，）为全微分方程或恰当方程，称为（称为（1）的一个原函数的一个原函数是方程的一个原函数是方程的一个原函数2 容易证明，如果容易证明，如果 是微分方程是微分方程（1）的一个原函数，则（）的一个原函数，则（1）的通积分为）的通积分为其中其中C为任意常数为任意常数于是，求解全微分方程的关键在于求出它于是，求解全微分方程的关键在于求出它的一个原函数的一个原函数例如例如3 我们通过观察寻找方程的一个原函数我们通过观察寻找方程的一个原函数对于一个一般的方程，怎样判断它是否是对于一个一般的方程，怎样判断它是否是全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？4二、全微分方程判定定理与不定积分法 定理：设函数定理：设函数 M(x,y)、N(x,y)在在 xoy 平面上平面上的单连通区域的单连通区域 D 内连续可微，那么方程内连续可微，那么方程(1)是是全微分方程的充要条件是在全微分方程的充要条件是在 D 内恒成立内恒成立演示证明演示证明。

56一般地，若一般地，若 为全为全微分方程，则它的通积分为微分方程，则它的通积分为 从而求得一个原函数从而求得一个原函数7解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例2 2 8解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例39定义定义:问题问题:如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?3、积分因子法 前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程（）未必都是全微分方程，但其于给定微分方程（）未必都是全微分方程，但其中有些则可利用积分因子化为全微分方程中有些则可利用积分因子化为全微分方程10我们用反推的办法来求积分因子我们用反推的办法来求积分因子 为了求出积分因子，必须求解上式，不容易但为了求出积分因子，必须求解上式，不容易但对于某些特殊情况，上式可求解对于某些特殊情况，上式可求解2）为全微分方程）为全微分方程1112以上求积分因子的方法称为公式法以上求积分因子的方法称为公式法13思考与练习：思考与练习：试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子例例1:求解微分方程：求解微分方程：例例2:求解微分方程：求解微分方程：14例例3解解则原方程化为则原方程化为可积组合法可积组合法15原方程的通解为原方程的通解为(公式法公式法)观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式16受上述结论的启发通常我们经常可受上述结论的启发通常我们经常可以选用的积分因子有：以选用的积分因子有：这种方法给我们又提供了一种求解微分方程这种方法给我们又提供了一种求解微分方程的方法的方法-可积（微）组合法，请看下面的例子：可积（微）组合法，请看下面的例子：17解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例4 求微分方程求微分方程原方程的通解为原方程的通解为18解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有原方程的通解为原方程的通解为可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程19解解1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:例例6一题多解：20解解2 2整理得整理得A A 用公式用公式:B B 凑微分法凑微分法:21C C 不定积分法不定积分法:原方程的通解为原方程的通解为22作业：P38 T1（1）（3）（5）,T2,T5拓展思维训练题：23 若能从若能从(1)解出解出 y 的一阶导数，那么会得到一的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。

个或几个显式方程，用前面的办法求解前面讨论的方程都是可解出一阶导数的前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（微分方程，即显式方程（）一阶隐式微分方程是指一阶隐式微分方程是指第六讲第六讲 一阶隐式方程的解法一阶隐式方程的解法例例1:试求解微分方程：试求解微分方程：24 本节主要介绍三种类型隐式微分方程本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法的求解方法1）不含）不含 y（或（或 x）的方程）的方程 （2）可解出）可解出 x 的方程的方程 （3）可解出）可解出 y 的方程的方程 若不能从若不能从(1)解出解出 y 的一阶导数，或者即使能解的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论25 1、若方程（、若方程（1）不含）不含y，即，即 26例例1 12728例例2 2：若方程（若方程（1）不含）不含 x，即，即 则完全类似求解则完全类似求解例例3 3：例例4 4：29 2、若可从方程（、若可从方程（1）解出）解出 x，即，即 解法：解法：这个方程可化为显式形式，用前面类这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出（似的方法能求出（1）的解。

的解30例例5 53132 3、若可从方程（、若可从方程（1）解出）解出 y，即，即 解法：解法：333435例例6 63637例例7 7383940小 结 （1）可解出）可解出 y 的方程的方程 （2）可解出）可解出 x 的方程的方程（3）不含）不含 x（或（或 y）的方程）的方程 *借助于一些变量代换 ，可将隐式形式的方程化为显式方程借助于一些变量代换，将隐式形式的方程化为参数形式方程41作业：P46 （2）（4）（6）(8)(10)42。