高考数学 2.12导数与生活中的优化问题及综合应用配套课件 文 新人教A版.ppt

第十二节 导数与生活中的优化问题及综合应用考向考向 1 1 利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题【典例【典例1 1】】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量售量y(y(单位：千克单位：千克) )与销售价格与销售价格x(x(单位：元单位：元/ /千克千克) )满足关系式满足关系式y= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2，其中，其中3e(A)f(2)>e2 2f(0),f(2 013)>ef(0),f(2 013)>e2 2 013013f(0)f(0)(B)f(2)ef(0),f(2 013)>e2 2 013013f(0)f(0)(D)f(2)>e(D)f(2)>e2 2f(0),f(2 013)1x>1时，时，g′(xg′(x) )＝＝g(xg(x) )在在(1(1，＋，＋∞)∞)上单调递减．上单调递减．又又g(1)g(1)＝＝0 0，有，有g(xg(x)<0)<0，即，即f(xf(x)< (x)< (x－－1)1)．．方法二：方法二：由基本不等式知，当由基本不等式知，当x>1x>1时，时，故故令令k(xk(x) )＝＝lnxlnx－－x x＋＋1 1，则，则k(1)k(1)＝＝0 0，，k′(xk′(x) )＝＝ －－1<01<0，，故故k(xk(x)<0)<0，即，即lnxlnx1x>1时，时，f(xf(x)< (x)< (x－－1)1)．．②②方法一：记方法一：记h(xh(x) )＝＝ 得得令令g(xg(x) )＝＝(x(x＋＋5)5)3 3－－216x216x，则当，则当1m).>m).①①当当m m＞＞0 0时，方程时，方程f(xf(x)=0)=0有唯一一个实根；有唯一一个实根；②②当当m m＝＝0 0时，方程时，方程f(xf(x)=0)=0有两个实根；有两个实根；③③当当m<0,M>0m<0,M>0时，方程时，方程f(xf(x)=0)=0有三个实根；有三个实根；④④当当M M＝＝0 0时，方程时，方程f(xf(x)=0)=0有两个实根；有两个实根；⑤⑤当当M M＜＜0 0时，方程时，方程f(xf(x)=0)=0有一个实根有一个实根. . 【变式备选【变式备选】】已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-3ax-1,a≠0.-3ax-1,a≠0.(1)(1)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(2)(2)若若f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极值，直线处取得极值，直线y=my=m与与y=f(xy=f(x) )的图象有三个的图象有三个不同的交点，求不同的交点，求m m的取值范围的取值范围. .【解析【解析】】(1)f′(x)=3x(1)f′(x)=3x2 2-3a=3(x-3a=3(x2 2-a),-a),当当a a＜＜0 0时，对时，对x∈Rx∈R，有，有f′(xf′(x) )＞＞0,0,故当故当a a＜＜0 0时，时，f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为(-∞,+∞),(-∞,+∞),当当a a＞＞0 0时，由时，由f′(xf′(x) )＞＞0 0解得解得由由f′(xf′(x) )＜＜0 0解得解得故当故当a a＞＞0 0时，时，f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为(2)(2)因为因为f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极值，处取得极值，所以所以f′(-1)=3f′(-1)=3××(-1)(-1)2 2-3a=0,∴a=1.-3a=0,∴a=1.所以所以f(xf(x)=x)=x3 3-3x-1,f′(x)=3x-3x-1,f′(x)=3x2 2-3,-3,由由f′(xf′(x)=0)=0解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1.=1.由由(1)(1)中中f(xf(x) )单调性可知，单调性可知，f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极大值处取得极大值f(-1)=1f(-1)=1，，在在x=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.f(1)=-3.因为直线因为直线y=my=m与函数与函数y=f(xy=f(x) )的图象有三个不同的交点，的图象有三个不同的交点，结合结合f(xf(x) )的单调性可知，的单调性可知，m m的取值范围是的取值范围是(-3,1).(-3,1).【满分指导【满分指导】】 导数综合问题的规范解答导数综合问题的规范解答【典例【典例】】(12(12分分)(2012)(2012··山东高考山东高考) )已知函数已知函数f(xf(x)= )= (k(k为常数，为常数，e=2.718 28e=2.718 28……是自然对数的底数是自然对数的底数) )，曲线，曲线y=f(xy=f(x) )在在点点(1,f(1))(1,f(1))处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行. .(1)(1)求求k k的值的值. .(2)(2)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(3)(3)设设g(x)=xf′(xg(x)=xf′(x) )，其中，其中f′(xf′(x) )为为f(xf(x) )的导函数的导函数. .证明：对任证明：对任意意x>0,g(x)<1+ex>0,g(x)<1+e-2-2. .【思路点拨【思路点拨】】已已 知知 条条 件件条条 件件 分分 析析曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1))(1,f(1))处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行得出得出f′(1)=0f′(1)=0即可求出即可求出k k的值的值 f(x f(x)= )= 求出求出f′(xf′(x) )及及f′(xf′(x)=0)=0的根，再判断的根，再判断f′(xf′(x) )的符号的符号g(x)=xf′(xg(x)=xf′(x) )直接求直接求g(x)=xf′(xg(x)=xf′(x) )的最值困难，可对的最值困难，可对g(xg(x) )放缩后，再求最值放缩后，再求最值【规范解答【规范解答】】(1)(1)由由f(xf(x)= )= 得得x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)①①. .f′(xf′(x)= )= ………………………………2 2分分由已知由已知,f′(1)= =0,∴k=1. ,f′(1)= =0,∴k=1. ……………………3 3分分(2)(2)由由(1)(1)知知,f′(x,f′(x)=)=设设k(xk(x)= -ln x-1)= -ln x-1，则，则k′(xk′(x)=)=即即k(xk(x) )在在(0,+∞)(0,+∞)上是减函数，上是减函数，由由k(1)=0k(1)=0知，知，k(xk(x)=0)=0有唯一实根有唯一实根②②. .当当00)>0，从而，从而f′(xf′(x)>0)>0，，当当x>1x>1时时k(xk(x)<0)<0，从而，从而f′(xf′(x)<0.)<0.综上可知，综上可知，f(xf(x) )的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)，，单调递减区间是单调递减区间是(1,+∞). (1,+∞). ………………………………7 7分分(3)(3)由由(2)(2)可知，当可知，当x≥1x≥1时，时，g(xg(x)=xf′(x)≤0)=xf′(x)≤0＜＜1+e1+e-2-2，故只需，故只需证明证明g(xg(x)<1+e)<1+e-2-2在在00)>0，， ③③………………………………………………………………9 9分分设设F(x)=1-xln x-xF(x)=1-xln x-x，，x∈(0,1)x∈(0,1)，，④④则则F′(x)=-(lnF′(x)=-(ln x+2) x+2)，，当当x∈(0,ex∈(0,e-2-2) )时，时，F′(xF′(x)>0)>0，当，当x∈(ex∈(e-2-2,1),1)时，时，F′(xF′(x)<0)<0，，所以当所以当x=ex=e-2-2时，时，F(xF(x) )取得最大值取得最大值F(eF(e-2-2)=1+e)=1+e-2-2. . ………1111分分所以所以g(xg(x)0,g(x)<1+ex>0,g(x)<1+e-2-2. . ……………………1212分分【失分警示【失分警示】】( (下文下文①②③④①②③④见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20121.(2012··大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知函数已知函数y y＝＝x x3 3-3x+c-3x+c的图象与的图象与x x轴恰有轴恰有两个公共点，则两个公共点，则c c＝＝( )( )(A)-2(A)-2或或2 (B)-92 (B)-9或或3 3(C)-1(C)-1或或1 (D)-31 (D)-3或或1 1【解析【解析】】选选A.A.设设y=f(x).∵f′(xy=f(x).∵f′(x)=3(x+1)(x-1))=3(x+1)(x-1)，，∴∴当当x=-1x=-1或或x=1x=1时取得极值，时取得极值，f(1)=0f(1)=0或或f(-1)=0f(-1)=0，即，即c-2=0c-2=0或或c+2=0c+2=0，解得，解得c=2c=2或或c=-2.c=-2.2.(20132.(2013··茂名模拟茂名模拟) )已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的偶函数，当上的偶函数，当x>0x>0时，时， 且且f(-2)=0,f(-2)=0,则不等式则不等式 的解集的解集是是( )( )(A)(-2(A)(-2，，0)∪(0,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞)0)∪(0,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-2,0)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(0,2)(C)(-2,0)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(0,2)【解析【解析】】选选C. C. 当当x>0x>0时，时，F′(xF′(x)>0,)>0,故故F(xF(x) )在在(0,+∞)(0,+∞)上为增函数上为增函数, ,又又=-F(x=-F(x),),故故F(xF(x) )是奇函数是奇函数. . 即即F(xF(x)>0.)>0.当当x>0x>0时，由时，由F(xF(x)>F(2))>F(2)得得x>2x>2；当；当x<0x<0时，由时，由F(xF(x)>F(-2))>F(-2)得得-21)>1，则不等，则不等式式f(xf(x) )－－x>0x>0的解集为的解集为__________.__________.【解析【解析】】令令g(xg(x) )＝＝f(xf(x) )－－x x，，∴∴g′(xg′(x) )＝＝f′(xf′(x) )－－1 1，，由题意知由题意知g′(xg′(x)>0)>0，，∴∴g(xg(x) )为增函数，为增函数，∵g(2)∵g(2)＝＝f(2)f(2)－－2 2＝＝0 0，，∴∴g(xg(x)>0)>0的解集为的解集为(2(2，＋，＋∞)∞)．．答案：答案：(2(2，＋，＋∞∞) )2 2．设直线．设直线x=tx=t与函数与函数f(xf(x)=x)=x2 2,g(x)=lnx,g(x)=lnx的图象分别交于点的图象分别交于点M,NM,N，，则当则当|MN||MN|达到最小时达到最小时t t的值为的值为________.________.【解析【解析】】由题意知由题意知|MN|=x|MN|=x2 2-lnx,x-lnx,x＞＞0,0,不妨令不妨令h(xh(x)=x)=x2 2-lnx-lnx，则令，则令h′(xh′(x)=)=答案：答案：。