论文置换矩阵性质及推广1.doc

通化师范学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2012 届 ）题 目 置换矩阵的性质及其推广 系 别: 数 学 系 专 业: 数学与应用数学 班 级: 二 班 作者姓名: 居海丽 学号: 200806010204 指导教师: 高玉峰 职称: 助 教 学历: 研究生 论文成绩: 2012 年 5 月目 录摘 要..............................................................................................................IAbstract...........................................................................................................II1引言................................................................................................................1 1.1置换矩阵的定义........................................................................................2 1.2广义置换矩阵的定义................................................................................22置换矩阵的性质............................................................................................32.1置换矩阵的基本性质................................................................................32.2对称置换矩阵...........................................................................................7 2.2.1 对称置换矩阵的定义........................................................................7 2.2.2 对称置换矩阵的基本性质................................................................73广义置换矩阵的性质...................................................................................83.1广义置换矩阵的基本性质........................................................................83.2广义置换矩阵的判定...............................................................................94置换矩阵的应用...........................................................................................94.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用.........................................................94.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用........................................................115结束语..........................................................................................................12致谢语............................................................................................................12参考文献........................................................................................................12指导教师评语....................................................................................................评阅人评语........................................................................................................置换矩阵的性质及其推广 数学系2008级2班 居海丽摘 要:本文介绍了置换矩阵和对称置换矩阵的定义和基本性质,探讨了广义置换矩阵的基本性质及判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.关键词:置换矩阵;对称置换矩阵;广义置换矩阵;模糊交换矩阵Properties and Promotion of Permutation MatrixClass2, 2008, Department of Mathematics Ju Haili Abstract:The passage is introduced from definition and basic properties of permutation matrix and symmetry permutation matrix ,then,some properties and determine methods of generalized permutation matrix are studied ,permutation matrix is discussed in lines - rows changed on matrix and fuzzy commute matrix. Keywords:Permutation matrix; symmetry permutation matrix; generalized permutation matrix ; fuzzy commute matrix- II -1引言 置换矩阵是布尔矩阵的特例,在代数学中占有重要地位,许多《高等代数》、《矩阵论》的书籍都有涉及.置换矩阵具有良好的特性与结构,对置换矩阵的定义和性质进行深入的研究是十分必要的.置换矩阵的推广形式在实际生活中也有重要应用.上世纪末,华罗庚教授就曾在研究“计划经济大范围最优化的数学理论”中引入了这类重要的非负可逆矩阵——广义置换矩阵.因此,本文也将探讨广义置换矩阵的性质及判定方法. 在下文将用到一些数学符号,在这里介绍一下:设是置换矩阵中的任意元素,所以,我们定义如下: (1),我们把“”叫做互补运算.即0的补为1,1的补为0. (2),我们把“”叫做并运算.即表示取元素中的大者. (3),我们把“”叫做交运算.即表示取元素中的小者. (4),我们把“-”叫做差运算. 其中“”,“”满足结合律. 为了使后文讲述的更加清楚,将他们分别应用于矩阵中,首先设为置换矩阵,以下事例中设 我们还得出以下式子成立 (1) 例 (2) 例(3) 例 (4) 例 (5)1.1置换矩阵的定义 如何研究好置换矩阵,对它的定义分析是十分重要的,所以给出如下定义: 对于阶布尔方阵中任意的、行或列,当行列不相同时即（）时有如下式子成立 或 .我们把这样的布尔方阵叫做正交. 对于阶布尔方阵中的任意的、行或列,有如下式子成立 或 .我们把这样的布尔方阵叫做标准的.如果既是正交的又是标准的布尔方阵,我们称这样的矩阵为置换矩阵. 例 为置换矩阵. 由以上定义可以明确置换矩阵每行每列有唯一一个1,行列上的其它元素均为0.1.2广义置换矩阵的定义 设集合={1,2,…,},为A到本身的一个映射,则我们可以得到和这个映射相伴随的矩阵,就是 或 ,就叫做与映射相伴的广义置换矩阵. 例 设集合A={1,2,3,4,5},,,,,,则可以得到映射的相伴矩阵为 从上面的例题可以看出广义置换矩阵是一种特殊的(0,1)矩阵.2置换矩阵的性质 第一部分介绍了置换矩阵与广义置换矩阵的定义,本节将研究置换矩阵和对称置换矩阵的性质及证明,并给出具体例子加以说明.2.1置换矩阵的基本性质 性质1 如果是置换矩阵,那么以下式子成立:,反之亦然. 证明 充分性 因为,则由定义知,所以是正交的, 又因为 所以是标准的. 必要性 因为是置换矩阵,所以存在正交性,则有,所以. 注 或. 例1设 则故有. 性质2 如果是置换矩阵,那么以下式子成立 (1); (2).证明 根据矩阵运算法则 . 例2 那么则有故. 性质3 如果分别是置换矩阵,具有相同的阶数,那么以下式子成立 证明 同理. 例3 设,为阶置换矩阵, , 则 , 所以. 性质4 如果是置换矩阵,并且有,那么以下式子成立 证明 由已知可知是置换矩阵,故有,所以,所以. 例4 设 则有取所以 故成立. 性质5 如果,分别是已知的置换矩阵,那么以下矩阵方程有解,则其解为. 证明 因为,等式左右两边分别乘以,有,所以 . 例5 设 , 则当时, 此时符合题意,.即.2.2对称置换矩阵2.2.1对称置换矩阵的定义如果置换矩阵符合那么我们把它称为对称置换矩阵,.2.2.2。