高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题 新人教A版选修22.doc

第一章　1.2　1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则A级　基础巩固一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　D　)A．1　 　　 B．2　 　　　C．3　 　　　 D．4[解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4．2．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是(　A　)A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1[解析]　∵y＝ln(x＋2)，∴y′＝，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝1，∴切线方程为y－0＝1×(x＋1)，即y＝x＋1．3．(2018·邵阳三模)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　D　)A． B．C． D．[解析]　f′(x)＝f′(－2)ex－2x；∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)；解得f′(－2)＝．故选D．4．(2018·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(　A　)A．－ B．－C． D．[解析]　f′(x)＝cosx＋sinx；∴f′(α)＝cosα＋sinα；又f′(α)＝3f(α)；∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝＝－．故选A．5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　A　)A． B． C． D．[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选A．6．(2018·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是(　B　)[解析]　依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B．二、填空题7．(2018·黄山一模)已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝1．[解析]　根据题意，f(x)＝x3＋3xf′(0)，则其导数f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0可得：f′(0)＝3f′(0)，解可得f′(0)＝0，则f′(x)＝x2，则有f′(1)＝1，故答案为1．8．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为e．[解析]　∵ f(x)＝exln x，∴ f′(x)＝exln x＋，∴ f′(1)＝e．三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋ ．[解析]　(1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－．(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x－，∴y′＝－x－－x－＝－．(3)∵y＝sin4＋cos4＝2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝－sinx．(4)∵y＝＋＝＋＝＝－2，∴y′＝′＝＝．10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．[解析]　由于(－1，f(－1))在切线上，∴－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2．∵f′(x)＝，∴解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．故f(x)＝．B级　素养提升一、选择题1．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝(　C　)A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e[解析]　∵f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，∴f ′(x)＝2f ′(e)＋，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，解得f ′(e)＝－，故选C．2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为(　A　)A． B．π2C．2π2 D．(2＋π)2[解析]　曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为．二、填空题3．(2018·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝．[解析]　f ′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f ′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin．若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．4．(2018·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝1＋．[解析]　f′(lnx)＝1＋；∴f′(lne)＝1＋；即f′(1)＝1＋．故答案为1＋．三、解答题5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析]　∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1．又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e．∴b＝0，d＝0．∴f(x)＝ax4＋cx2＋1．∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1．∵f ′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1．∴a＝，c＝－．∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1．6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f ′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．[解析]　f ′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f ′(1)＝1＋2b＋c＝0．①(1)若－b≤－1，即b≥1，则f ′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x)min＝f ′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1．②由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．(2)若－1<－b<3，即－3