函数的单调性与最值(理课件).ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,按,Esc,键退出,返回目录,2.2函数的单调性与最值,按,Esc,键退出,返回目录,按,Esc,键退出,返回目录,基础梳理自测,考点探究突破,按,Esc,键退出,返回目录,基础梳理自测,构建能力大厦的奠基石,按,Esc,键退出,返回目录,(1)单调函数的定义.,知识梳理,1.函数的单调性,按,Esc,键退出,返回目录,(2)如果函数,y,=,f,(,x,)在某个区间上是,或,则称,y,=,f,(,x,)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做,y,=,f,(,x,)的单调区间.,答案：(1)f(x,1,)f(x,2,)逐渐上升的逐渐下降的(2)增函数减函数,按,Esc,键退出,返回目录,2.函数的最值,答案：f(x),Mf(x,0,)=Mf(x),Mf(x,0,)=M,按,Esc,键退出,返回目录,基础自测,1.下列函数中,在(0,3)上是增函数的是().,A.,f,(,x,)=,B.,f,(,x,)=,-,x,+3,C.,f,(,x,)=,D.,f,(,x,)=,x,2,-,6,x,+4,答案：C,按,Esc,键退出,返回目录,2.下列函数,f,(,x,)中满足“对任意,x,1,x,2,(0,+,),当,x,1,f,(,x,2,)”的是().,A.,f,(,x,)=e,x,B.,f,(,x,)=,C.,f,(,x,)=(,x,-,2),2,D.,f,(,x,)=ln(,x,+3),答案：B,3.若函数,f,(,x,)=,x,2,-,2,x,+,m,在3,+,)上的最小值为1,则实数,m,的值为().,A.,-,3B.,-,2,C.,-,1D.1,答案：B,按,Esc,键退出,返回目录,4.已知函数,f,(,x,)为R上的减函数,则满足,f,f,(1)的实数,x,的取值范围,是,.,5.函数,f,(,x,)=,+2在3,4上的最大值为,最小值为,.,答案：(,-,1,0),(0,1),答案：,按,Esc,键退出,返回目录,1.已知函数,y,=,f,(,x,)定义域为,I,若函数在区间,a,b,(,a,b,I,)上单调递增,(递减),能否说函数在定义域,I,上单调递增(递减)?,提示:函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上,的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定,单调.,2.函数,y,=,的单调递减区间为(,-,0),(0,+,),这种表示法对吗?,提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的,形式表示;一个函数如果有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用,并集符号“,”联结,也不能用“或”联结.,思维拓展,按,Esc,键退出,返回目录,3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征?,提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降的,而最大(小)值反映,在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值.,按,Esc,键退出,返回目录,考点探究突破,拓展升华思维的加油站,按,Esc,键退出,返回目录,一、函数单调性的判断,【例1,-,1】下列四个函数中,在(0,+,)上为增函数的是().,A.,y,=,B.,y,=,-,log,2,x,C.,y,=,x,2,-,2,x,D.,y,=,解析:画出各函数图象,由图象可知,选,D,.,答案：D,按,Esc,键退出,返回目录,【例1,-,2】讨论函数,f,(,x,)=,(,m,0)的单调性.,解:函数定义域为x|x,2,不妨设x,1,x,2,(,-,2)且x,1,x,2,f(x,2,),-,f(x,1,)=,-,=,=,.,m0,x,1,x,2,(,-,2),且x,1,x,2,按,Esc,键退出,返回目录,x,1,-,x,2,0.,0,即f(x,2,)f(x,1,),故函数f(x)在区间(,-,2)上是增函数;,同理可得函数f(x)在区间(2,+,)上也是增函数.,综上,函数f(x)在(,-,2),(2,+,)上均为增函数.,按,Esc,键退出,返回目录,方法提炼1.判断或证明函数的单调性,最基本的,方法是利用定义或利用导数.,利用定义的步骤是:设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大,小)得出结论;,利用导数的步骤是:求导函数判断导函数在区间上的符号得出,结论.,2.两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定.,按,Esc,键退出,返回目录,3.对于复合函数,y,=,f,g,(,x,),如果内、外层函数单调性相同,那么,y,=,f,g,(,x,)为增函数,如果内、外层函数单调性相反,那么,y,=,f,g,(,x,)为减函数,即“同增异减”.,请做针对训练5,按,Esc,键退出,返回目录,二、求函数的单调区间,【例2,-,1】定义在R上的偶函数,f,(,x,)满足:对任意的,x,1,x,2,0,+,)(,x,1,x,2,),有,0,则().,A.,f,(3),f,(,-,2),f,(1)B.,f,(1),f,(,-,2),f,(3),C.,f,(,-,2),f,(1),f,(3)D.,f,(3),f,(1),f,(,-,2),解析:由题意得,在0,+,)上,210,得f(3)f(,-,2)0,则x3.,函数y=,lo,(x,2,-,4x+3)的定义域为(,-,1),(3,+,).,按,Esc,键退出,返回目录,方法提炼1.求函数的单调区间与确定单调性的方法:,(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.,(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.,(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,(4)图象法:如果函数是以图象形式给出的,或者函数的图象易作出,可,由图象的直观性写出它的单调区间.,按,Esc,键退出,返回目录,2.求复合函数,y,=,f,g,(,x,)的单调区间的步骤:,(1)确定函数定义域;,(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;,(3)分别确定两基本初等函数的单调性;,(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.,请做针对训练1,按,Esc,键退出,返回目录,三、求函数的最值,【例3,-,1】函数,y,=,x,+2,在区间0,4上的最大值,M,与最小值,N,的和为,.,解析:函数y=x+2,在其定义域上是增函数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.,答案：8,按,Esc,键退出,返回目录,【例3,-,2】已知定义在区间(0,+,)上的函数,f,(,x,)满足,f,=,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,),且当,x,1时,f,(,x,)0.,(1)求,f,(1)的值,并判断,f,(,x,)的单调性;,(2)若,f,(4)=2,求,f,(,x,)在5,16上的最大值.,按,Esc,键退出,返回目录,解:(1)令x,1,=x,2,0,代入得f(1)=f(x,1,),-,f(x,1,)=0,故f(1)=0.,任取x,1,x,2,(0,+,),且x,1,x,2,则,1,由于当x1时,f(x)0,所以f,0,即f(x,1,),-,f(x,2,)0,因此f(x,1,)f(x,2,),所以函数f(x)在区间(0,+,)上是单调递增函数.,按,Esc,键退出,返回目录,(2)f(x)在(0,+,)上是单调递增函数,f(x)在5,16上的最大值为f(16).,由f(,)=f(x,1,),-,f(x,2,),得f(,)=f(16),-,f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.,f(x)在5,16上的最大值为4.,按,Esc,键退出,返回目录,方法提炼1.求函数值域与最值的常用方法:,(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.,(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,求出最值.,(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法,求解.,(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应,的方法求值域或最值.,(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的,条件后,再用基本不等式求出最值.,按,Esc,键退出,返回目录,(6)导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出,值域或最值.,2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目,所给性质和相应条件,对任意,x,1,x,2,在所给区间内比较,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)与0的大,小,或,与1的大小(,f,(,x,)0).有时根据需要,需作适当的变形:如,x,1,=,x,2,或,x,1,=,x,2,+,x,1,-,x,2,等.,请做针对训练2,按,Esc,键退出,返回目录,四、函数的单调性与不等式,【例4】(2011四川宜宾一诊)已知定义在R上的函数,f,(,x,)满足:,f,(,x,+,y,),=,f,(,x,)+,f,(,y,)+1,当,x,0时,f,(,x,),-,1.,(1)求,f,(0)的值,并证明,f,(,x,)在R上是单调增函数;,(2)若,f,(1)=1,解关于,x,的不等式:,f,(,x,2,+2,x,)+,f,(1,-,x,)4.,按,Esc,键退出,返回目录,(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.,由,f,(,x,2,+2,x,)+,f,(1,-,x,)4得,f,(,x,2,+,x,+1),f,(3),又函数,f,(,x,)在R上是增函数,故,x,2,+,x,+13,解之,得x1,故解集为x|x1.,解:(1)令x=y=0得f(0)=,-,1.,在R上任取,x,1,x,2,则x,1,-,x,2,0,f(x,1,-,x,2,),-,1,又f(x,1,)=f(x,1,-,x,2,)+x,2,=f(x,1,-,x,2,)+f(x,2,)+1f(x,2,),所以,函数,f,(,x,)在R上是增函数.,按,Esc,键退出,返回目录,方法提炼1.函数的单调性是与不等式有直接的联系,对,函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合.,2.解有关抽象函数不等式问题的步骤:,(1)确定函数,f,(,x,)在给定区间上的单调性(或奇偶性);,(2)将函数不等式转化为,f,(,A,),f,(,B,)的形式;,(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“,f,”,转化成一般的,不等式或不等式组;,(4)解不等式或不等式组求得解集.,按,Esc,键退出,返回目录,提醒:解此类问题易忽视,A,B,的取值范围,即忽视,f,(,x,)所在的单调区间的约束.,请做针对训练3,按,Esc,键退出,返回目录,本课结束,谢谢观看,。