2023年第四章 习题课二.doc

习题课二：电磁感应中的动力学及能量问题　电磁感应中的动力学问题1.具有感应电流的导体在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向2)求回路中的感应电流的大小和方向3)分析导体的受力情况(包括安培力)4)列动力学方程或平衡方程求解2.两种状态处理(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析2)导体处于非平衡状态——加速度不为零处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析[例1] 如图1所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2从t＝0时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：(g＝10 m/s2)图1(1)导体棒所能达到的最大速度；(2)试定性画出导体棒运动的速度－时间图象。

思路点拨：ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动的速度增大，棒中的感应电动势E＝BLv增大，棒中感应电流I＝＝增大，棒受到的安培力方向水平向右，大小为F＝BIL＝也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达到最大值外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热解析　(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势为E＝BLv①I＝②导体棒受到的安培力F安＝BIL③导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律得F－μmg－F安＝ma④由①②③④得F－μmg－＝ma⑤由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大此时有F－μmg－＝0⑥可得vm＝＝10 m/s⑦(2)导体棒运动的速度－时间图象如图所示答案　(1)10 m/s　(2)见解析图电磁感应动力学问题中的动态分析思路导体受外力运动产生感应电动势感应电流导体受安培力―→合外力变化加速度变化―→速度变化―→感应电动势变化……→a＝0，v最大值周而复始地循环，循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定状态，a＝0，速度v达到最大值　　　　　　[例2] 如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。

图2(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值解析　(1)由右手定则知，产生的感应电流方向a→b如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安，沿斜面向上2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中的电流I＝＝ab杆受到安培力F安＝BIL＝根据牛顿第二定律，有mgsin θ－F安＝mgsin θ－＝maa＝gsin θ－3)当a＝0时，ab杆有最大速度，其最大值为vm＝答案　(1)见解析图(2)　gsin θ－　(3)电磁感应中力学问题的解题技巧(1)受力分析时，要把立体图转换为平面图，同时标明电流方向及磁场B的方向，以便准确地画出安培力的方向2)要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化，不像重力或其他力一样是恒力3)根据牛顿第二定律分析a的变化情况，以求出稳定状态的速度4)列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口　　　　　　[针对训练1] 如图3所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。

质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触求：图3(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P解析　(1)感应电动势E＝Bdv0感应电流I＝，解得I＝(2)安培力F＝BId牛顿第二定律F＝ma解得a＝(3)金属杆切割磁感线的速度v′＝v0－v，则感应电动势E＝Bd(v0－v)电功率P＝，解得P＝答案　(1)　(2)　(3)　电磁感应中的能量问题1.电磁感应中能量的转化电磁感应过程实质是不同形式的能量相互转化的过程，其能量转化方式为：2.求解电磁感应现象中能量问题的一般思路(1)确定回路，分清电源和外电路2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化，如：①有滑动摩擦力做功，必有内能产生；②有重力做功，重力势能必然发生变化；③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能。

3)列有关能量的关系式[例3] 如图4所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0 m，下端连接R＝1.6 Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0 N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行，当金属棒滑行s＝2.8 m后速度保持不变求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)图4(1)金属棒匀速运动时的速度大小v；(2)金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR解析　(1)金属棒沿斜面向上匀速运动时产生的感应电流方向a→b，产生的感应电动势E＝BLv，产生的感应电流为I＝安培力F安＝BIL，金属棒ab受力如图所示由平衡条件有F＝mgsin θ＋BIL代入数据解得v＝4 m/s2)设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律有Q＝Fs－mgs·sin θ－mv2而QR＝Q，代入数据解得QR＝1.28 J答案　(1)4 m/s　(2)1.28 J电磁感应中焦耳热的计算技巧(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。

2)感应电流变化，可用以下方法分析：①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他　　　　　　[针对训练2] 水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab，ab处在磁感应强度大小为B、方向如图5所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为R的电阻，导轨及导体棒电阻不计现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过的位移为x时，ab达到最大速度vm此时撤去外力，最后ab静止在导轨上在ab运动的整个过程中，下列说法正确的是(　　)图5A.撤去外力后，ab做匀减速运动B.合力对ab做的功为FxC.R上释放的热量为Fx＋mvD.R上释放的热量为Fx解析　撤去外力后，导体棒水平方向只受安培力作用，而F安＝，F安随v的变化而变化，故导体棒做加速度变化的变速运动，选项A错误；对整个过程由动能定理得W合＝ΔEk＝0，选项B错误；由能量守恒定律知，恒力F做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化为R上释放的热量，即Q＝Fx，选项C错误，D正确答案　D1.(电磁感应中的动力学问题)如图6所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。

杆ef及线框中导线的电阻都可不计开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)图6A.ef将减速向右运动，但不是匀减速B.ef将匀减速向右运动，最后停止C.ef将匀速向右运动D.ef将往返运动解析　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故选项A正确答案　A2.(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图7所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是(　　)图7解析　设ab杆的有效长度为l，S闭合时，若＞mg，杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，－mg＝ma中的a不恒定，故B项不可能答案　ACD3.(电磁感应中的能量问题)如图8所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)图8A.棒的机械能增加量 B.棒的动能增加量C.棒的重力势能增加量 D.电阻R上产生的热量解析　棒加速上升时受到重力、拉力F及安培力。

根据功能关系可知，力F与安培力做的功的代数和等于棒的机械能的增加量，选项A正确答案　A4.(电磁感应中的能量问题)如图9所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN第一次ab边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)图9A.Q1＞Q2，q1＝q2 B.Q1＞Q2，q1＞q2C.Q1＝Q2，q1＝q2 D.Q1＝Q2，q1＞q2解析　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因q＝－,lt＝t＝，故q1＝q2，因此A正确答案　A5.(电磁感应中的动力学综合问题)如图10所示，质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.3 Ω，长度l＝0.4 m的导体棒ab横放在U型金属框架上框架固定在绝缘水平面上，相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长。

电阻R2＝0.1 Ω的MN垂直于MM′整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1.0 T现垂直于ab施加F＝2 N的水平恒力，。